The spherically symmetric solution in Einstein-Dirac gravity is considered where the space section is the Hopf bundle. We use two Weyl spinors to obtain diagonal energy-momentum tensor that is necessary to have spherically symmetric gravitating solution. The solution for non-gravitating Dirac equation on the background of Lorentzian spacetime with the Hopf bundle as the space section are obtained also. Non-gravitating solutions for Dirac equation are defined by two half integer numbers $m$, $n$. The spherically symmetric gravitating solution for Einstein-Dirac equations are defined by $m = 0$, $n = 1/2$.

The subject of this work is the development of PIMC algorithms in various fields of quantum theory and condensed matter physics and their application for some important problems of physics. A high-performance muti-level algorithm is designed for many-body quantum systems calculations. This algorithm is applied for a computation of a metal hydrogen model. Within this model equations of state are obtained in a wide range of densities and temperatures. A first kind phase transition between liquid and bcc cubic crystal is detected and explored. A correct algorithm of PIMC calculations for relativistic quantum theory is also designed.

При использовании квадратично-интегрируемых вещественных радиальных волновых функций релятивистского уравнения типа Шредингера с эффективным потенциалом поля Шварцшильда доказано существование вырожденного стационарного состояния частиц со спином $1/2$ с энергией $E=0$. Энергия связи состояний $E_{\text{св.}}=mc^2$ не зависит от квантовых чисел $j$, $l$ и одинакова для любых значений гравитационной константы связи. Частицы с $E=0$ с подавляющей вероятностью находятся на расстоянии от горизонта событий в интервалах от нуля до долей или нескольких единиц комптоновской длины волны фермиона в зависимости от величины гравитационной константы связи. В работе анонсируются аналогичные решения для выроженных связанных состояний фермионов в полях Райсснера-Нордстрёма, Керра, Керра-Ньюмена. Системы атомного типа: коллапсары с определенным числом фермионов, находящихся в вырожденных связанных состояниях - предложены в качестве частиц темной материи.