Автомодельные потенциалы квантовой механики

В.П. Спиридонов

Наиболее красивые результаты квантовой механики возникают при описании  таких систем как гармонический осциллятор, атом водорода и ряд других,  так называемых точно решаемых моделей. Автомодельные потенциалы, открытые в начале 90-х годов, включают в себя много ранее известных систем.  В частности, они описывают наиболее физическую q-деформацию гармонического  осциллятора и объединяют его с определенным подклассом конечнозонных  операторов Шрёдингера. Специальные функции, описывающие эти потенциалы, определяются нелинейными дифференциально-разностными уравнениями,  включающими в себя q-деформацию уравнений Пенлеве. Я кратко опишу   эти автомодельные потенциалы и результаты, частично полученные в БЛТФ  ОИЯИ: связь со специальными бесконечносолитонными решениями уравнения  Кортвега-де Фриза, одномерными моделями Изинга с нелокальным взаимодействием и необычными когерентными состояниями.

Self-similar potentials of quantum mechanics

V.P. Spiridonov

Laboratory of theoretical physics, JINR

The most beautiful results of quantum mechanics emerge in the description of such systems as the harmonic oscillator, the hydrogen  atom and a number of others, so-called exactly solvable models.  The self-similar potentials discovered in the beginning of 90s include into themselves many systems known earlier. In particular, they describe  the most physical q-deformation of the harmonic oscillator and unify it  with a certain subclass of the finite-gap Schrodinger operators.  The special functions describing these potentials are determined by  nonlinear differential-difference equations, including q-deformations  of the Painleve equations. I will shortly describe these self-similar  potentials and the results partially obtained at BLTP JINR: connection  to special infinite soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation,  one-dimensional Ising models with nonlocal exchange and some unusual  coherent states.