Аномальная статистика экстремальных случайных процессов

Сергей Нечаев

Центр Понселе (CNRS) и ФИАН 

Рассмотрены две проблемы экстремальной статистики, в которых возникают необычные (но связанные друг с другом) особенности: а) статистика двухмерных "натянутых" случайных блужданий вблизи полукруга со скейлингом KPZ (Kardar-Parisi-Zhang), б) спектральные свойства симметричных трехдиагональных случайных матриц (операторов), внедиагональные элементы которых могут независимо принимать значения 0 и 1. Спектральная плотность ансамбля таких случайных матриц имеет специфическую фрактальную (ультраметрическую) структуру, и спектральная статистика имеет ряд ряда теоретико-числовых свойств, связанных с теорией модульных форм. У края спектральной плотности таких матриц есть "лифшицовый хвост", характерный для одномерной локализации Андерсона. Высказывается предположение, что "лифшицкий хвост" можно рассматривать как проявление скейлинга KPZ. Предполагается также обсудить взаимосвязь спектральных свойств случайных операторов с "филотаксисом".

I am going to discuss two problems of extremal statistics in which unusual (but related to each other) features arise: a) statistics of two-dimensional "stretched" random walks over a semicircle with Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) scaling, b)  spectral properties of symmetric tridiagonal random matrices (operators) whose off-diagonal elements can independently take values 0 and 1. The spectral density of the ensemble of such random matrices has a specific fractal (ultrametric) structure and the spectral statistics shares some number-theoretic properties related to the theory of modular forms. The edge of the spectral density of such matrices has a "Lifshitz tail", typical for the one-dimensional Anderson localization. I will show that the "Lifshitz tail" can be considered as the manifestation of KPZ scaling and statistics of large deviations. I expect also to highlight a relationship of the spectral properties of symmetric tridiagonal random matrices with the “phyllotaxis” (manifestation of Fibonacci sequences in nature).