В работе проведен анализ квантово-механической эквивалентности метрик центрально симметричного незаряженного гравитационного поля. Рассмотрены метрики Шварцшильда в сферических, изотропных и гармонических координатах, метрики Эддингтона-Финкельштейна, Пенлеви-Гуллстранда, Леметра-Финкельштейна и Крускала. Анализу подвергались области определения волновых функций уравнения Дирака, эрмитовость гамильтонианов, возможность существования стационарных связанных состояний частиц со спином ½. Вытекающее из условия выполнения условия причинности Гильберта ограничение на область определения волновых функций гамильтониана в поле Шварцшильда в сферических координатах существует также в других координатах для всех рассмотренных метрик. Самосопряженные гамильтонианы для метрик Шварцшильда в сферических, изотропных и гармонических координатах являются эрмитовыми, и для них возможно существование стационарных связанных состояний частиц со спином ½. Самосопряженные гамильтонианы для метрик Эддингтона-Финкельштейна и Пенлеви-Гуллстранда неэрмитовы, и для них возможны лишь состояния с комплексными уровнями энергии, распадающимися со временем. Самосопряженные гамильтонианы для метрик Леметра-Финкельштейна и Крускала являются эрмитовыми, но из-за явной зависимости от временной координаты для этих гамильтонианов отсутствует возможность определения стационарных связанных состояний частиц со спином ½. Результаты работы могут быть полезны при рассмотрении вопросов, связанных с эволюцией Вселенной и с взаимодействием коллапсаров с окружающей средой.