Дается краткий обзор результатов, полученных в 2009-2014 гг., по исследованию суперконформных индексов четырехмерных суперсимметричных квантовых теорий поля. Эти индексы описываются эллиптическими гипергеометрическими интегралами, открытыми докладчиком в 2000 г.. С помощью математических тождеств для этих интегралов удалось обосновать ряд известных дуальностей Сайберга для N=1 суперсимметричных калибровочных теорий поля и предложить большое число новых дуальностей. Многие известные дуальности привели к новым еще не доказанным математическим тождествам. Свойства индексов описывают редукции теорий по числу флейворов, условия согласования аномалий т'Хофта в дуальных теориях, спонтанное нарушение киральной симметрии и т.д,