\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\textwidth 16cm
\textheight 25cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin -1.5cm
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\large\textbf{��������� ������} \\[.2cm]
[�������� ������]
\end{center}

\vspace{.0cm}

\begin{center}
\textsc{�.\,�.\,����������} \\[.1cm]
\textit{��� ����} \\[.2cm]
\texttt{alvladim@theor.jinr.ru}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\large\textbf{����������}
\end{center}

\vspace{.1cm}

����� 1. \ ��������� ���� \dotfill \ \ 2

����� 2. \ ����������� ������ \dotfill \ \ 6

����� 3. \ ���������������� ����� \dotfill \ \ 8

����� 4. \ �������������� ���� \dotfill \ \ 11

\vspace{3 cm}

\begin{center}
\large\textbf{���������}
\end{center}

������ �������� ������������ ��� ��������� ������� ����� (������ �������).
� ����� � ����� �� ������������� ������� ���������� ``���������
� ��������� ������", � ����� ����� ��������������� ��� ����������������
����������� ����� ������� ��� �������������� ``���������� ��� �������".
��������������, ��� ����� ��������� �������� � �������� � ���������
��� ������� (��������, � ������ ��������������� ���� ��������������� �������).
� ������� �� ����������� ���������, � ������ ��������� � ������ ����� ��������
���������������� ������ ��� ������������� ��������������� ����� ��� ��������
�������� ��������������.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 1 \\[.2cm]
\textbf{��������� ����}
\end{center}

\vspace{.2cm}

�������� ��������� �������� ���������� ���� ��������
\textit{��������� ����} (��������, ������������� ��� ���������), �������� �
������� ���������� ������������. �� ����, � ������ ����� $p$ �����������
������������ $M$ ����� ����� ������ $\mathbf A(p)$. ���������� �������� �
��������� ���� (��������, � ����� ������� � ����� ������ ��������)\,:
\textit{��������� ����} $B_i^j(p)$ -- ��� ������� �� ������������ $M$,
����������� ��������� ��������. ��� ����, �������� �� ������� ��������
(��������, �������� ���������� � ������ �������� �������� � ��������
�������������) � ��������� �����, �� ������ ��������� �� �������� �������
� \textit{���������������� ���������}, ��������� ������ ��� ��������
����� ������������� �������� �� ����� ������������ $M$, � �� ����������� ����
����� �� ����� ����� ����������������. � ������ ������� ����� ����� ���������
���� ��������� (�������������) ����� ���� ���������� �������� � ������� �����,
� ������, ���������������� ��������� � ��������� � ���������� ������������.
������ ������, �� ����� ���������� �����, ��� ��� �� ����� � ��������
�����������, ���������� ������� ��� ������ $N$-������� ������, �� ��������
������ �� ��������, ����������� ���� ��� ����������� ������������ �����������
2 ��� 3.

����� ��������� ������� ��������� �� ������ ������������ �����
`������������' ������������� � $M$. � ��������, � ������� �� ������,
��� $M$ ��������������� ������� ��������� (� ������ -- ��������)
������������, ���������� ������������� ���������� �������� ���������. �� ��
������� �������� �������� ����� ������������ \textit{�������}, � �� ���������.
� ���������������� ��������� �������� ������������ $M$, ��� �������, ������
\textit{�� �������� ��������} �������������. ��� ����� ������������ � ����
����� ������������ �����������, � ��� ����� -- � ���� ������������ ���������
����� (����������, ����������� � �.�.)\,, ����������� (������ ������,
�������������) ������������ ������. �� ���� ������� ���������� �������� $M$
�� �������������, � \textit{�������������} (��-���������: manifold)\,. �� ��
����� ���������� �������� $M$ �������������, �� ������ ��� ��� ���� ��������.
��������� ���������� ������� ��� $M$ �����, ��������, ������� �������
���������� ��������� ������������ � �����-������ \textit{�������������}
�����������. ��������� ������������ $M$ ����� ������������ ���� ���� �
������� ������������� ��������� �� ���������, ���� � ���� ������������
��������� ����������� (��������, �����)\,.

��������� ������ ��������� ����� ������ ��� ���� ������ ��������. ���������
�������� �������������� ����� ����������� ���������� ����, ��������� ��
��������� ������������ $M$. ���������� ��� �������� � �������� ����������
�����������: ������ ����� $p\in M$ ������ ���� ������������
(���� ������������) ��������� �������� \textit{����������� ������������}
$V_p$\,, �������� � ����������� ������ $\mathbf A(p)$.
������������ $V_p$ �� ����������� �������� ��� ������ $p$ (� ������ ����� ���
��������, ��� ��� $V_p$ ���� ���������, ����������� � ����� � ����� $p$)\,,
� �� ���� �� ���, ������� ��, �� ������������ ��������� ������������ $M$,
������� � ������ ������� � ��������-�� �� ��������. ����� �������� (���
��������� � ����� ������������ $M$)\,, ���
��� $V_p$\, ��������� ���������� � �� ������������ � $M$ ���� ���� $M$ ��
�����-�� (��������, ����������) �������� ������� ������������ ����� ���������
������������ -- ���� � ���� ������ �� �� ������ ���������� � ����
��� � ��������� ������������, � ��� ����� ������������ ��� ���������
����������.

�������� �����. ��������� ���� �������� �� ������������ (������������) $M$
����������� $N$, ����� �������� ��������������� ������� ������������ ���������
$\{x^i\}$, ��� $i=1,\ldots,N$\,. ����� ����� $p\in M$ ���������� ������������
������ ������������ $x^i$. ��� ��������, � ���������,
��� �� ����� ������������ �������� $x$ (������� ��� ��� ������������ ���������
$x^i$) ������ $p$\,. ��������, ��������� ���� $B_i^j(x)$ -- ��� ������� ��
������������ $M$, �������� ������� � ����� $p=p\,(x)$ ���� ������ ���������
������������ $V_p$\, � ����� ������� � ����� ������ ��������.

��������� ��������� (�� ���� -- ������������) �������� � ��������
������������� �������� �� ����� �������������� ��� ������ ������.
�������� ���. ����� � �������� ������������ $V$ ������ ����� �����
$\{\mathbf{\tilde e}_i\}$\,, ��������� � �������� ������� $\{\mathbf e_i\}$
�������� ��������������� $\mathbf{\tilde e}_i = T_i^j \mathbf e_j$\,, ���
������� $T$ ������� ���� ���������. �����, ��������, ���������� �������
$D_k^{ij}$ ��� �������� � ������ ������ ������ ���
\begin{equation}
\label{tens}
{\tilde D}_k^{ij} \ = \ T_k^l\,(T^{-1})^i_m\,(T^{-1})^j_n\,D_l^{mn}\,.
\end{equation}
��� ������ ���������� ��� �������� �������������� �������: ������ �������
������� ������������� �������� $T$, � ������� -- �������� $T^{-1}$.

���� ������ ������ -- ����� ��������������� ����� �������������� ��� ���������
�����. ���������� ��� ������������ ������ $B_i^j(p)$. �� (\ref{tens}) �������
\begin{equation}
\label{tf0}
{\tilde B}_i^j(p) \ = \ (T_p)_i^m\,(T_p^{-1})^j_n\,B_m^n(p)\,,
\end{equation}
��� $T_p$ -- ��������� �������, ������������� ����� � �������� ������������
$V_p$\,. ������� (\ref{tf0}) � �������� ������ ������������ ������. ������ ���
��������� � ��������� ���������. ��-������, ��� �� ������ ����������� �������
�� ���������������� ������� � \textit{������} �����. ��-������, �������� ��
������ ������� �� ����� $p$ � �� ����������� $x$ �, � ���������, ��������
����� �������������� ��������� ����� ��� ������ ���������.

����� ������������ � ������ �����������, ���������� ������ ������ ���
��������, �� ���� \textit{���������} ������� $f(p)=f(p(x))=F(x)$ ��
������������ $M$. ��� ���������� ������� ����� $p$ ���, �����������,
\textit{�����} �� ������ �������� ��� ������� ������� � ������������� $V_p$\,:
$\tilde f(p)=f(p)$. ������ ��� ������� ��������� $x$ ��� \textit{�������}
���������� ��� �� ������: $F(x)=F(x(\tilde x))\doteq\tilde F(\tilde x)$.
������ ������ \textit{�����} ������ ��������� ������� ($F$ �� $\tilde F$)
����������� ������������ \textit{��������} ���� ������� � ������ `����������'
����� $p$\,, �������� �� ������ ���������. ��������� ����������, �������� �
����������� �������� ������� (\ref{tf0})\,:
\begin{equation}
\label{tf1}
{\tilde B}_i^j(\tilde x) \ = \ (T_x)_i^m\,(T_x^{-1})^j_n\,B_m^n(x)\,,
\end{equation}
��� $T_x$ ���� ������ $T_{p(x)}$\,. �� ���������� �� $p$\,, ��������
����������� � ��������� $T$.

������������� ��������� �������: ��� \textit{������} ������� ���������
$\{x^i\}$ ����������� � \textit{������} ����� $p$ ����-������������ (� ���
���� ������ �����������) ����� ������������ ������������ $V_p$\,. ��� �������
��������� ��� ������ ����� ���������� �������������� �������. ��� ����� ��
������ �������� ��������� ������ � ������ ���������, � ������������ �������
����� ������ ���������� ������ $T$. ������� ��������� ����� �������� ���:
\begin{equation}
\label{nb}
\mathbf e_i(p) \
 = \ \partial_i p \ \equiv \ \frac{\partial p}{\partial x^i}\ .
\end{equation}
����� ��������� �������: �������� �� ������������ �������� (\ref{nb}) �������
���������? � ������, ����� �� ���������������� $p$\,, ��� �� ������������ ��
������� $M$ �������� �������������?

������� ��������� ��� ������ �������� ������� �� ������ ������ �������
(\ref{nb})\,, ��������� ���-���� �� ��������������� � ��������� ����� ������
�������������� ��������� �����. ��� ��������� ��������� ����� ���
�������� � ������ �����������? �� ������� ����������������� ������� �������
��������
\begin{equation}
\label{nbt}
\mathbf{\tilde e}_i(p) \ = \ \frac{\partial p}{\partial \tilde x^i} \
 = \ \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\,
  \frac{\partial p}{\partial x^j} \
 = \ \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\ \mathbf e_j(p) \
 = \ (T_x)_i^j\ \mathbf e_j(p)\ .
\end{equation}
����, �� ����� ����� ������� ��� ������� $T_x$\,, � ������ � ��� ��������
� ���,
\begin{equation}
\label{t}
(T_x)_i^j \ = \ \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\ , \ \ \ \ \ \
(T_x^{-1})_i^j \ = \ \frac{\partial \tilde x^j}{\partial x^i}\,,
\end{equation}
���������
\begin{equation}
\label{re}
\frac{\partial \tilde x^j}{\partial x^i}\
\frac{\partial x^i}{\partial \tilde x^k}
 = \ \frac{\partial \tilde x^j}{\partial \tilde x^k} \ = \ \delta^j_k\,.
\end{equation}
�� ������������, �������, ��� ������ ��������� $\tilde x(x)$ � $x(\tilde x)$
������� �������� � ��������������� � ����� �����. � ����� ��������:
\begin{equation}
\label{tf}
{\tilde B}_i^j(\tilde x) \ = \ \frac{\partial x^m}{\partial \tilde x^i}\
\frac{\partial \tilde x^j}{\partial x^n}\ B_m^n(x)\,.
\end{equation}
��� � ���� ������������� ������� �������������� ��������� ����� ��� �������
���������. Ÿ ��������� �� ������ ������ ����� � ���� �������� ��������.

�������� ������ � ������� � ������ � ������������ ����������� (\ref{nb})\,.
������ ��� ����� ��������� ����, ��� ���� �������� (����������) ������������
$M$ ����� ������� \textit{���������} � ������, �� ��� �������� ����������
������������, ��������, ������� �����������. ���, ��������� ������������
����������� ����� � ���������� ���������� ������������, � ������� ����������
������������ � �������������� ������������ ����� ������������� ��� ���������
� ���������� ��, �� � ���������� �������� ��������� � ����� ����������
����������. ����� ����� ����� $p$ �� $M$ ����� ������������ ������������ ���
\textit{������} $\mathbf p$ � ���� ���������� �������� ������������. ��������
$\mathbf e_i(p)$\,, ���������� �������� (\ref{nb})\,, ���� ����� � ���
���������, ������ (�� ��������������� ������ �����������) ������������ � $M$.
� ������, ������ $\mathbf e_i=\partial_i p$ �������� ��� ����� ������������
�����, ������� �������� $i$-�� ����������. ��� �����, $\{\mathbf e_i(p)\}$
������ ������� �� ���� ������ ������������ ������������ $V_p$\,. ����������
����� ���������� ����� (\ref{nb}) � ���� $\{\partial_i\}$\,, ������
�� �������� $p$\,. ����� ����� ����� ������������� ������ (���������
����������������� ������ ��������)\,, �� ������ ���� �����. ���� ����
�������, ��� �� ����� �������� ������� (\ref{tf}) ����� ��������� �����������
(\ref{nb}) ����� �� �������� -- ���� ������ ������� $p$ � ��������
(\ref{nbt})\,.

����� ��������� ���������� ������� (\ref{tf}) -- ����� �� ��������� �
���������������� ��������� -- ���������� ����� �������� ������� ������������
�������. ������� ������������ �������� $t$ \textit{��������}\,, � �����������
$p(t)$ -- \textit{�����������} ����� � ������������ $M$, �����������
����������� ��������� ��������� ���� ����� $x^i(t)$ ��� ������� �������.
\textit{����������� ��������} � ������ ���������� � ����� $p(t)$ �����������
������� ��������� ������:
\begin{equation}
\label{tan}
\mathbf A(p) \ = \ \frac{d}{dt}\,\mathbf p(t) \
 = \ \frac{dx^i}{dt}\,\partial_i \mathbf p \
 = \ \frac{dx^i}{dt}\,\mathbf e_i(p) \ = \ A^i(x)\,\mathbf e_i(p)\,,
\end{equation}
��� $A^i(x)=dx^i/dt$ -- ���������� ������� $\mathbf A(p)$ � ��������� ������
(\ref{nb})\,. �������, ��� ���� ������� (\ref{tan}) ���������� $\mathbf A(p)$
��� ������ ����������� ������������, ��� ����������� ������� $A^i(x)$ �����
����� ������ ���������� $p(t)$ � ������������ $M$. ������� ��, � ��������,
����� ������ ����������� ������ ������ ��� ������������ ��������� $A^i(x)$,
��� ������ ��������� � ����������� ������������.

����� ���������, ��� ��������� ���� $A^i(x)$ ������������� � �������� � �����
�������� (\ref{tf})\,:
\begin{equation}
\label{vf}
\tilde A^i(\tilde x) \ = \ \frac{d\tilde x^i}{dt} \
 = \ \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j}\,\frac{dx^j}{dt} \
 = \ \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j}\,A^j(x)\,.
\end{equation}
���������� ����� ��������� ���� � ����� ������ �������� (��� �����
�������� \textit{�����������})\,. � �������� �������� �������, ��������,
$f_i(x)=\partial_if(x)$ ��� �����-������ ��������� ������� $f(x)$.
����� ������, ���
\begin{equation}
\label{cvf}
\tilde f_i(\tilde x) \
 = \ \frac{\partial\tilde f(\tilde x)}{\partial\tilde x^i} \
 = \ \frac{\partial f(x)}{\partial\tilde x^i} \
 = \ \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\,\partial_j f(x) \
 = \ \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\,f_j(x)\,,
\end{equation}
���� � ������ �������� � (\ref{tf})\,. ����������� (\ref{vf}),\,(\ref{cvf})
���� �������������� ����������� ����� ������� (\ref{tf}) ��� ������-����
��������� � ����������� ������������.

����������� ���� � ������������ $\partial_if$ ���������� \textit{����������}
��������� ������� $f$.
������ ������ ���� ������ �������� �����������, ���������� ��������� ���� �
���������. ����� ������� ��������� ���� $A$ � ������ ����� ���������� $x(t)$,
��� � ������ �� ����� ��������������� ������ ����� ���� � ��� ���������. �����
������ ����� ��������� ������� $f$. �� ������ ���������� � ����� ����������
��� ������� $f(x(t))$ ����� ���������� $t$ � ������������������� �� ���:
\begin{equation}
\label{Af}
\frac{d}{dt}\,f(x(t)) \ = \ \frac{dx^i}{dt}\,\partial_i f \
 = \ A^i\,\partial_i f \ \equiv \ Af\,.
\end{equation}
����� ���� �������� ������ ��������� -- ��� �������� ��������� ��������
������� $f$ ��� �������� �����
����������, ����������� � ���������� ���� $A$ (��� ������: �������� �����
$f$ ����� ���� $A$)\,. ����������� � ����� ���������� �����, ��� ����,
�������, ������ �����. �� ����������� \textit{�� ����} ������ ������������ $M$
(�����������, ��� ����� ��������� ��������������� ����������)\,, ��������
$Af$ ���������� �������� �� $M$. ������ �� ����� ��������� � �������
(\ref{Af}) � ������, �������������� �����: ��������� ���� $A(x)$
\textit{���������} �� $f(x)$, ��������� � � ����� �������
$(Af)(x)=A^i(x)\,\partial_if(x)$\,. ������, ��� ����� �� (\ref{Af})\,,
��������� ��� ��� \textit{���������������� ��������}\,:
$A=A^i\,\partial_i$\,. � ����� ����� ����� � ������� (\ref{tan})\,,
���������� �������� ������ ������ ���������� ������ � ���� $\{\partial_i\}$
������� ���� ����������.

� ���������� ������ ����� �������� ���������� ���� ������, ������ ��
�������� ����������, ������� �������� ������� �������� ��������� ����. ���
������ �������, ������������ � ���������� �����, �������, ���������� �����
����������, ���������� ����� ��� �����, ������� �� ��������. ���� �� �������
������ ��� ���� ������������ $M$ ��� ���� �� � ��������� ������� � ���, ��
������ �������� � ������ ������� $x(t)$ ���������������� ��������� ����
$dx^i/dt=A^i(x)$ ��� ��������� ���������� ���� $A(x)$, ���������� �����
������������ �����. ��� ������� (�� ���� ���������� ���������������� ��
�����������) ����� $A$ ����� �������, ��� ������� �� ������ ������������
���������������� ���������, ������ ���������� � �����������. �������������,
������ �������� ���������� ���� $A$ �� ������������ $M$ ������������ �������
�������������� ����������� �� ������������ ����� ����������, �������
� ����� ����� ��������� ��������������� ������ ����� ����.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 2 \\[.2cm]
\textbf{����������� ������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

� �������� ������� \textit{����������� ������} $g_{ij}$ �������� ���
����������� ����������� ���������� ������������ ��������:
$\mathbf A\mathbf B=g_{ij}\,A^i\,B^j$. ��� ���� �� ������� $g_{ij}$ ���������
�������������� �� �������� � ���������������, �� ���� ������������� ��������
������� $g^{ij}$. ����������� ������ ������ ��� ���������� ���� ��������,
� ����� ��� ������� � ��������� ��������� ��������. � ����������������
��������� ����������� ���� ������ ����������� ��������� ���� $g_{ij}(x)$
(���������� -- \textit{�������})\,, ������������ �� $ij$ � �������������
(��� �������� �������) � ������ ����� $x$. ��� ����� �������������� ��������
�� ����� ������� (\ref{tf})\,:
\begin{equation}
\label{met}
{\tilde g}_{ij}(\tilde x) \ = \ \frac{\partial x^m}{\partial \tilde x^i}\
\frac{\partial x^n}{\partial \tilde x^j}\ g_{mn}(x)\,.
\end{equation}

��� ������ ����������� �������� $g\doteq\det g_{ij}$\,, ������� ������� �����,
��� ��� �������������. ������� ������ ����� (\ref{met}) � ���� ������������
���� ������,
\begin{equation}
\label{g0}
\tilde g(\tilde x) \
 = \ \left(\frac{\partial x}{\partial \tilde x}\right)^t g(x)\,
 \left(\frac{\partial x}{\partial \tilde x}\right)\,,
\end{equation}
� ���� ������������ �� ����� ������, �������
\begin{equation}
\label{g}
\det\tilde g(\tilde x) \
 = \ \left(\det\frac{\partial x}{\partial \tilde x}\right)^2\det g(x)
\ \ \ \ \ \ \text{���} \ \ \ \ \ \
\sqrt{\tilde g} \  = \ \sqrt g\,\det\frac{\partial x}{\partial \tilde x}\ ,
\end{equation}
��� $\det(\partial x/\partial\tilde x)$\,, � ���� (\ref{re})\,, ���� ��������,
�������� �������� $\det(\partial\tilde x/\partial x)$ ����� ������ ���������.

������ ��� �� ���������� ��������� �������� ������� ��� ���������� ����,
�������� � ������� ������������� ��������, ��������� ������� ��������, ���
������������ ����� ��� �����\'� ������������ ������� $g_{ij}(x)$ � ����������
������������. ���������� ��������� ��������: ����� � ���� ������������
$M$ � ������������ $x^i$ � �������� $g_{ij}(x)$ ������� ������ ������������
$M'$ ��� �� ��� ������� ����������� � ������������ $\sigma^\alpha$. ����, ���
������� ���������� ����, �������� � �.�. � ������������ $M'$ ���������
���������������� ���������, ������������ � ���������� ������������ $M$. � ���
������, ��� ����������� ������ $g_{ij}(x)$ ������������ $M$ ������ ���������,
��� \textit{������������}, ���������� ������������ �������
$g_{\alpha\beta}(\sigma)$ � ������������ $M'$. ������ � ����� ���. �����
�������� $M'$ � $M$ �������� ������������� ������������� $x^i(\sigma)$\,.
������� ������ $\mathbf A$, ����������� � ��������� ���������� $\sigma(t)$ � $M'$.
���� ������� $g_{\alpha\beta}(\sigma)$\,, �� ����� �� �������� ��� ���������
������� � ���� $g_{\alpha\beta}A^\alpha A^\beta$. ���� ��, ������, �����
������ $g_{ij}(x)$. �� ����� ����������, ����� �������� ��� �� ���������
�������, ������ � �������� ������������ $M$. ����,
\begin{equation}
\label{ind0}
g_{\alpha\beta}(\sigma)\,\frac{d\sigma^\alpha}{dt}\,\frac{d\sigma^\beta}{dt} \
 = \ g_{\alpha\beta}\,A^\alpha\,A^\beta \
 = \ \mathbf A\mathbf A \ = \ g_{ij}\,\frac{dx^i}{dt}\,\frac{dx^j}{dt} \
 = \ g_{ij}(x)\,\frac{\partial x^i}{\partial\sigma^\alpha}\,
  \frac{\partial x^j}{\partial\sigma^\beta}\,\frac{d\sigma^\alpha}{dt}\,
  \frac{d\sigma^\beta}{dt}\ ,
\end{equation}
������ ������� ������� ������� ��� �������������� �������:
\begin{equation}
\label{ind}
g_{\alpha\beta}(\sigma) \
 = \ g_{ij}(x)\,\frac{\partial x^i}{\partial\sigma^\alpha}\,
  \frac{\partial x^j}{\partial\sigma^\beta} \
 = \ \frac{\partial x^i}{\partial\sigma^\alpha}\,
  \frac{\partial x_i}{\partial\sigma^\beta}\ .
\end{equation}

��������� ����������� ������� ��� �������� ������� ��� �������� �������
��������� ����������� � ������������ � �������� ��������. �������������
�������, ������������� � ������ �����: ����� $M$ -- ���������
\textit{���������} ������������ � \textit{��������������} ������������ $x^i$.
����� � ���� �� ������������ ���������� � ��������� ���������� $y^i$. �������
������ ���������� ����� ������� �������, ������� � ���������� �����������
���� ������ $dy^1\,dy^2$, ����� ���������� $x^i$:
\begin{equation}
\label{ar}
dS \ = \ dy^1\,dy^2 \ = \ \det\frac{\partial y}{\partial x}\ dx^1\,dx^2 \
 = \ \sqrt{g}\ dx^1\,dx^2\,.
\end{equation}
�������, ��� ������� $\det(\partial y/\partial x)$ ������ � ������� ����������
$y(x)$, �� ������ ����� ����������� �������? ����� ���������:
�������, ��� ������� $g_{ij}(x)$ ������������ $M$ ������������ ����������
�������� ��������� ������������ (������ $\delta_{ij}$ ��� ����� $y$)
� �������������, �� ������� (\ref{ind}) �����
\begin{equation}
\label{jac}
g_{ij}(x) \
 = \ \frac{\partial y^k}{\partial x^i}\,\frac{\partial y^k}{\partial x^j}
\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
g(x) \,= \,\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^t
 \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)
\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
 \sqrt{g} \ = \ \det\frac{\partial y}{\partial x}
\end{equation}
(� �������� (\ref{g0}),\,(\ref{g}),\,(\ref{jac}) \ $g(x)$ -- ��� �������, �
$g$ -- � �����������, �.\,�. �����)\,.

����� ������ $\sqrt{g}\,dx^1dx^2$ �� (\ref{ar}) ������ ���, ��� ����� �������
������� ������� ����� ���������� � ������� ������ ������ ������������ $M$.
��������� ������ ��������� ������� $M$ ��� ���������  �����������, ��������� �
���������� ��������� ������������, �� �������� �� ��� �� ���������, ���������
������� ������ ������� ������������ ����������� �������� ����� ������� ���
�������� �� ����������� ���������, �� ������� ��� ����� ������� ���������
����������, ��� ����� ����� ������ � ����������. ����� ����, ��������������
(\ref{ar})\,, ��� ����� ������, �������� � ���� ��� ������������ �����
�����������. �� �������� ������������� �������, ���������� ������� ������
����� ����������� ������������ �������:
\begin{equation}
\label{vol}
dV \ = \ \sqrt{g}\ dx^1\ldots\,dx^N\,.
\end{equation}
�������������� ������������ ����� ����������� �������� ��� ������������� ��
������ ���������. �������������, �������� �� �������� (\ref{g}) �����, ���
\begin{equation}
\label{inv}
\sqrt{\tilde g}\ d\tilde x^1\ldots\,d\tilde x^N \
 = \ \sqrt g\,\det\frac{\partial x}{\partial\tilde x}\,
  \det\frac{\partial\tilde x}{\partial x}\ dx^1\ldots\,dx^N \
 = \ \sqrt{g}\ dx^1\ldots\,dx^N\,.
\end{equation}

������� (\ref{vol}) �������� � � ���������� ������, ��� ������ �������� �����.
���������� ������ � ������������ $M$ ��� ���������� ������������, ����������
����� ������ ������� $t$\,, � ������� �� ���, ���������� � ������������
���������� $g_{11}(t)$\,, (��� �� -- ����������� $g$) ������ �� �������
(\ref{ind})\,,
\begin{equation}
\label{len0}
g \ = \ g_{11}(t) \
 = \ g_{ij}(x)\,\frac{d x^i}{dt}\,\frac{d x^j}{dt}\ ,
\end{equation}
������ ������� ��������� ��������� ��� �������� ����� ������
\begin{equation}
\label{len}
dl \ = \ \sqrt{g}\ dt \
 = \ \sqrt{g_{ij}(x)\,\frac{d x^i}{dt}\,\frac{d x^j}{dt}}\ dt
\end{equation}
� ���������� ����������� ������������.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 3 \\[.2cm]
\textbf{���������������� �����}
\end{center}

\vspace{.2cm}

� ������ ����� �� ����� ������� ��������� ����, ������� ������ ������ �������
� ���������������� �� ���� ��������. ����� ���� �������������
\textit{���������������� ������} � ������������ ������� ��� ���� �� ����, ���
� � ����� � �������� ��������������. ������ � ����������� ����� $H_i(x)$ -- �
��� ������ ���� ������, � ������������� ����� ���� �� ���������. ������
������ ���� �� ��� ������ � ������ ����� -- ��� �������� ��������� �������
$\partial_if(x)$\,. ���������� ������ ������������ ����������� ����.
� �������� �������, �������� -- ��� �������� ������� $\lambda$ �� ���������
������������ $V$, �������������� ������� ������� $\mathbf x\in V$ �����
$<\!\lambda\,,\mathbf x\!>\,=\lambda_i\,x^i$. ��������� �������� ���� ��������
������������ $V^*$, �������� � $V$. ����, ��� �����������
���� $H$ ���� ������������ ������ ������� $A(x)$, ��������� � �����
$x$, ������������ �����, ������ $H_i(x) A^i(x)$, � ����� ���������� ����
$A$ -- ��������� \textit{�������} $(H_i A^i)(x)$ �� ������������ $M$.
������� ��� ����������� ����� ������ ������������ ������ �������
$A=A^i(x)\,\partial_i$ ���������� ���������� ���� �� ���������� ������.
�������� ������ ���������� �����, �������� � $\{\partial_i\}$\,.

�������� ������������ ��������������, ����������� ���� ������ ������ ����
���������� ���:
\begin{equation}
\label{cov}
H \ = \ H_i(x)\,dx^i\,, \ \ \ \ \ \ \ \
<\!dx^j\,,\,\partial_i\!> \ = \ \delta_i^j\,.
\end{equation}
��� �����������, �������, �������� � ������� ���������
$<\!H\,,A\!>\,=H_i\,A^i$, �� ������ � �������� ��������� ��������� ������
����� ������������� $dx^i$\,? �����, ��� � � ������ ���������� ����������
������ $\{\partial_i\}$\,, ������� � ������������ (\ref{Af})\,. �������������,
�������� $Af=A^i\,\partial_if$, ������� �� ���������� ��� ��������� ��������
���������� ���� $A$ �� ��������� ������� $f(x)$\,, ����� ��������������� �����
� ��� �������� ��������� \textit{��������} ������� �� ������� $A(x)$\,. �� ���
������� ��� �������� �������? ��� ����� ���������� � ������ ����������� ��
$f(x)$\,, � ������ � ��� -- � �������� ��� ��� ������, ������� � �������
�������� �������������� �������. ������� ������ ������������ �������� ����
���������� � \,$df$\,. ����,
\begin{equation}
\label{df}
<\!df\,,\,A\!> \ \doteq \ A^i\,\partial_if\ \doteq \ Af
\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \
<\!dx^i\,,\,A\!> \ = \ A^i(x)\,,
\end{equation}
��� ��������� ����������� � � (\ref{cov})\,, � � ��������� �������� �������
$df(x)=\partial_if\,dx^i$. ������ ���������� �������, ������ ����������� ����
(\ref{cov}) ������� �������� ����� \textit{���������������� ������} �������
�������, ��� ������ \textit{1-������}\,. �������, ��� ������ ��������� ���
������ �������������, $d\tilde x^i=(\partial\tilde x^i/\partial x^j)\,dx^j$,
� �������� ������� ������� (\ref{tf})\,. ������, ������� (\ref{df}) �������
���� ��� ���������� ����������� �������������, ������� ����� �� (�� ������
������������������) ��� �����������, ������� �� ����� �� ����� ���������������
�������.

���������� ������ ���������������� ����� ������� � �������� ��������,
\begin{equation}
\label{23}
F \ = \ F_{ij}(x)\ dx^i\,dx^j\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \
\Omega \ = \ \Omega_{ijk}(x)\ dx^i\,dx^j\,dx^k\,.
\end{equation}
��������� ���� $F_{ij}(x)$ � $\Omega_{ijk}(x)$ �������������� ���������
����������������� �� ���� ����� ��������. ���������� ����� ��������
����������� ����: ������������� $dx^i$, � ������ � ������������� �����
�������, ������ \textit{�����������������} ����� �����,
\begin{equation}
\label{anti}
dx^i\,dx^j \ = \ -\,dx^j\,dx^i
\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ \ \
df(x)\ dg(x) \ = \ -\,dg(x)\ df(x)
\end{equation}
(� ������������ ���������� �������������� -- ������ ��������� ����, ��������,
$dx^1\,dx^1=0$)\,. �������������, � ���� ������������� $F_{ij}$ �����
\begin{equation}
\label{}
F_{ij}\ dx^i\,dx^j \ = \ \frac{1}{2}\,(F_{ij} - F_{ji})\ dx^i\,dx^j \
 = \ \frac{1}{2}\ F_{ij}\ (\,dx^i\,dx^j - dx^j\,dx^i)\,,
\end{equation}
������ ���� ��� �� ������� (\ref{anti})\,. �������������� (�, ��������,
�������) ��������� � ������ �������������� ����� ������� �� ������� �
��������� �����. ��� ����� ���������� ������������������, ���������� � ������
����������� ���������������� ���� (\ref{23})\,, ����������� �������������
������������� ���� ������� $N\!+\!1$ � $N$-������ ������������. ��������, ���
$N=3$ ���������������� ������ $\Theta_{ijkl}$ ������ ������������
��������� ����, ��� ����� �� �������� (�� ���� ���������) ��� ������� ��
���������, ���� �� ��� �� ��� ����������� ��������. �������, ���� ���� �
�������������� ����������� 2 � 3 (��� �� ������������)\,, �� �����
������������ ��������� ���������������� ���� �� ���� �������� �������.

�������� $d$ (������������) ����� ����������� �� ������ � ��������, ���������
�� � 1-�����, �� � � ����� ���������������� ������. ��� ���� ������� �����
������������� �� �������. ����������� �������� ��������� �����������:
\begin{equation}
\label{d}
d\,\omega \ = \ d[\,\omega_{i\ldots j}(x)\,dx^i\ldots\,dx^j] \
 = \ d\omega_{i\ldots j}(x)\,dx^i\ldots\,dx^j \
 = \ \partial_k\,\omega_{i\ldots j}(x)\ dx^k\,dx^i\ldots\,dx^j\,,
\end{equation}
�� ����, ���������������� (�� $x$) ������ ���������������� ��������� ����
$\omega_{i\ldots j}(x)$ -- \textit{�������������� �������} ����������������
����� $\omega=\omega_{i\ldots j}(x)\,dx^i\ldots\,dx^j$. �� ����� �� �������
$d\omega$ ���������������� ������ -- ���� � �������������� �������
$\partial_k\,\omega_{i\ldots j}$\,, �������� ��, �� ���������������? �
����������, ������, ��� ������������� ������������������ �� ���� �������
(������������) �������� � ��������� ���������������� ��������
$dx^k\,dx^i\ldots\,dx^j$. ��������� ��� �� �������:
\begin{equation}
\label{}
d(H_i\,dx^i) \ = \ \partial_j H_i\ dx^j\,dx^i \
 = \ \frac{1}{2}\,(\partial_j H_i - \partial_i H_j)\ dx^j\,dx^i\,.
\end{equation}
��� ��� ����������� (\ref{d}) ������ ���������. ��������� ���������
������������� �������� ��� \textit{���������������}\,:
\begin{equation}
\label{nil}
d\,d \ = \ 0 \ \ \ \ \ \Longleftarrow \ \ \ \ \ \
d\,d\,\omega \ = \ \partial_l\,\partial_k\,
  \omega_{i\ldots j}(x)\ dx^l\,dx^k\,dx^i\ldots\,dx^j \ = \ 0
\end{equation}
(������� ������������� ������ $\partial_l\partial_k$ � ����������������
$dx^l\,dx^k$ ���� ����)\,.

������ �� ����� �������� �������� �� ������, ����� ������ ������������
�������������: �����������, ��� �������� ���������� ���� � �����
����������������� �������� ��������� �����. � ���� �����, ��.\,(\ref{cvf})\,,
�� ���������, ��� ����������� ��������� �������, �.\,�.\,��������,
������������� ��� ��������� (�����������) ����. ������ ���������, ��������,
��� ������������� $\partial_iH_j(x)$\,:
\begin{equation}
\label{non}
\tilde\partial_i \tilde H_j(\tilde x) \
 = \ \frac{\partial}{\partial\tilde x^i}
  \left(\frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^j}\,H_k(x)\right) \
 = \ \frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^j}\,
  \frac{\partial x^l}{\partial\tilde x^i}\ \partial_l H_k(x) \
 + \ \frac{\partial^2 x^k}{\partial\tilde x^i\,\partial\tilde x^j}\,H_k(x)\,.
\end{equation}
������ ��������� ������ ����� ���� �������� ��������� ����� ��������������
(\ref{tf})\,. ����� �������, ����������� ���������� ���� ���� ��������� �����,
������ ������, �� ��������. �� ���������� ��������� ��������, ���� ���
������������������ �� �������� $ij$\,, � ��� ������, ��� ����
$\partial_iH_j-\partial_jH_i$ ��� ����� ���������. ����� �������, �����������
������������� (\ref{d}) ������ ������ ����������������� ����������������
�����, ������������� � �� ���������� ����������.

�������� ����� �������� �������� $d$ �� ��������� ����� � ����������
������������. ������ �� ��������� ������� (�� ������� �������� 0-�������)\,:
\begin{equation}
\label{0}
df \ = \ \partial_i f(x)\,dx^i \
 = \ \frac{\partial f}{\partial x^1}\ dx^1
  + \frac{\partial f}{\partial x^2}\ dx^2
  + \frac{\partial f}{\partial x^3}\ dx^3\,.
\end{equation}
�� �����, ��� �������������� �������� 1-����� $df$ �������� �������� $f$.
�����, �������� �������� $d$ � ��������� (�.\,�. 1-�����) $H$\,:
\begin{multline}
\label{1}
dH \ = \ d(H_i\,dx^i) \ = \ \partial_j H_i\ dx^j\,dx^i \ \\
 = \ (\,\partial_1 H_2 - \partial_2 H_1)\,dx^1\,dx^2
 + (\,\partial_2 H_3 - \partial_3 H_2)\,dx^2\,dx^3
 + (\,\partial_3 H_1 - \partial_1 H_3)\,dx^3\,dx^1\,.
\end{multline}
��� ��������� ���������� �������������� ������� 2-����� $dH$ � ��������
������������� ����������� ������ $H$\,. �������� ������ $d$ � 2-����� $F$,
�������
\begin{equation}
\label{2}
dF \ = \ d(F_{ij}\ dx^i\,dx^j) \
 = \ \partial_k F_{ij}\ dx^k\,dx^i\,dx^j \
 = \ 2\,(\partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} + \partial_3 F_{12})
  \ dx^1\,dx^2\,dx^3\,.
\end{equation}
�������������� ������� 3-����� $dF$ ����� ����������� �������
$\Phi^i=\epsilon^{ijk}F_{jk}$\,, ���
\begin{equation}
\label{div}
\Phi^1\,=\,2F_{23}\,, \ \ \ \Phi^2\,=\,2F_{31}\,, \ \ \
\Phi^3\,=\,2F_{12}\,, \ \ \ \ \
2\,(\partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} + \partial_3 F_{12})\,
 = \,\partial_i \Phi^i\,.
\end{equation}
�������, �������� $d$ �� ����� 3-����� $\Omega$ (� ���������� ������������)
���� ����. �� ����������� ��� ��������� �������� �������� $d$ ��
���������������� ����� ����������� ������������ � ���������� ������
����� ������������� $d$ �� ������������ ���������� ���������� ������� --
����������, ������� � ������������.

� ����������, ��������� ���� ��� ���������������� ����� ����������� ����������
������� $N$. ��������, � ���������� ������������ ��� ����� 3-�����
\begin{equation}
\label{om}
\Omega \ = \ \Omega_{ijk}(x)\ dx^i\,dx^j\,dx^k \
 = \ \Omega(x)\,\epsilon_{ijk}\ dx^i\,dx^j\,dx^k\ ,
\end{equation}
��� ��� ��������� ���������������� ������ � ���������� ������������ ������
�������������� $\epsilon$-�������. �������� ��������, ��� ��� ������
$\epsilon_{ijk}$ ����� ���� ��� ������� ���������. ���������� ����������
������������ � ����������� ������������ $y^i$ � ���������� ��������
$\delta_{ij}$\,, � ������� ������� ����� ������������� ���������� $x^i$ �
�������� �������������� ������� $g_{ij}(x)$ �� ������� (\ref{jac})\,.
� �������� ���������� ����������� $\epsilon$-������ ����� ������� ��������
\begin{equation}
\label{eps}
\epsilon_{123} \ = \ 1\,, \ \ \ \ \ \
\epsilon_{ijk} \ = \ \epsilon^{ijk}\,, \ \ \ \ \ \ \
\epsilon_{lmn}\,M^l_i\,M^m_j\,M^n_k \ = \ \epsilon_{ijk}\,\det M\ .
\end{equation}
���������� ��� �� ������������ ������� (\ref{tf}) � ����������� $x$, �������:
\begin{equation}
\label{epx}
\epsilon_{ijk}(x) \
 = \ \frac{\partial y^l}{\partial x^i}\,\frac{\partial y^m}{\partial x^j}\,
  \frac{\partial y^n}{\partial x^k}\ \epsilon_{lmn} \
 = \ \det\frac{\partial y}{\partial x}\ \epsilon_{ijk} \
 = \ \sqrt{g}\ \epsilon_{ijk}\ .
\end{equation}
���� ������ ������������� ��������� ������ � ���������� �� ������ ��
������������ �������. ����� �������, ��� � ����������� (\ref{om}) ����
��������� ��� ������� � ����������� ������� $\Omega(x)$\,. ��������
����� ������� ��� ������ ������� ��������,
\begin{equation}
\label{up}
\epsilon^{ijk}(x) \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}}\ \epsilon^{ijk} \
 = \ \frac{1}{g}\ \epsilon_{ijk}(x)\,,
\end{equation}
���, �������, ����������� � \,
$\epsilon_{ijk}(x)\,=\,g_{il}(x)\,g_{jm}(x)\,g_{kn}(x)\,\epsilon^{lmn}(x)\,
=\,\det g(x)\ \epsilon^{ijk}(x)$\,.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 4 \\[.2cm]
\textbf{�������������� ����}
\end{center}

\vspace{.2cm}

������� ���� ���� ����� -- ���������� ��������� �����������:
\textit{�������������� ������ ���� �������������� ���������������� ����}\,.
������ ������, ��� ������� $N$-������� ���������� (� ��� ����� �������������,
������������� � �.\,�.) �� ����� ��������������� ������� �����������
����������� �� ��������� $N$-����. ������������, ��� � ���� �����������
����� ������� ���������� -- ������������������� ��������������, ���� ���
�������� ������� ���������� � ������� �� ������ ��������� �� ��������. ������,
���� �����������, �� ��� ���� ����������������� ������ �����������, ���
��������������� �������������: �� ������ ������ ��� �����, ������� � ������
�������� �������������� ����������. ���� � ����������� �������� � �������
������� $dx^i dx^j=dx^j dx^i$, � ����� ��������� ������ �������� � ��������
������ ���������� �������������� (�� ���� �� � (\ref{ar}) �����������
���������)\,. � �������������� ����� ������, ������������� ��������
���������� �� ������������� �������, ������� ��������� ���������, ����
������������ �������� (\ref{anti})\,, �� ������ ������ ���������, �� �
���������� �����������. ��� ����� ��� �� ������� ����������� ���������:
$\int^b_a\!dx$ ����� ���� ������ �����, � ���� �� ����� ����� �������� �����
����� ������� $[a,b]$\,, �� ������� ������ (��� ������� �������, ��� ������
 -- $a$ ��� $b$\,, � ����� �������������� �� �������� � ��������)\,. ���� ���
����, ��� � ���������� ��������� ����� ��������� $dx^1 dx^2$ ��� $dx^2 dx^1$,
�� \textit{�� �����} -- $dx^1 dx^1$ ��� $dx^2 dx^2$, -- ��� ������ ��������
�� ��, ��� ������������� �� ����� ���� ������� ������� ������������������:
$dx^2 dx^1=-dx^1 dx^2, \ \ dx^1 dx^1=dx^2 dx^2=0$\,.

��� ������� ����������� � ������ ���������� �������� (\ref{anti}) �� ������
� ���������������� ������, �� � � ������� ����������, ����� ���� ��������� ���
�����, ����� �������: ���������������� ������� �������� �������������� �����
����� ��� ������� ����������, ��� ����������� ��� ���� ������� �� �����������
���������������. �������� ����� ������ ������� ������ ���������� � �������
���������. ������� ������������, ��� ������� ��������������� (�����
��������������� � �.\,�.) ������������ ����� ����������� �������, ������������
�� ���������� ��������� ����������� ��� ��������, ��������,
\begin{equation}
\label{v2}
S(\mathbf A,\,\mathbf B) \ = \ \det
\begin{pmatrix} A^1 & A^2 \\ B^1 & B^2 \end{pmatrix} \
 = \ A^1 B^2 - A^2 B^1\,.
\end{equation}
����� ����� ����� ������� ��������� (������ ����� ��� $N$-������� ������)
������� ���������������. �������������, �� ������ ���� ���������������
(���� $\mathbf B\rightarrow\mathbf B'=\mathbf B+\alpha\mathbf A$) �� �����,
�� ����������� �� ��������,
��� �������� ������������ ������������� ������� �������� -- ����,
� ��� ��������, ������������ ����� ���������� ����, ����������� (\ref{v2})
��������. �������, ����� �������� � �������, ��������� �� ���� �������, �����
���������� ��� ������������� ��������. ������� ������ ��������� �����
��������� ������� ���������� ��������, ���������� � ������������� ���������.
��������� ��� -- ����� (� ���������� ����������� $y^i$)
���������� ����������� �������� $\Delta_1,\,\Delta_2,\,\ldots$\,, ����������
����� ��������� $\Delta x^1,\,\Delta x^2,\ldots$ ������������� ���������
$x^i$. �� (\ref{vf}) ��������, ���
\begin{equation}
\label{delt}
\Delta_1 \ \simeq \ \left(\frac{\partial y^1}{\partial x^1}\,\Delta x^1\,,
\ \frac{\partial y^2}{\partial x^1}\,\Delta x^1\,, \ \ldots\right), \ \ \ \
\Delta_2 \ \simeq \ \left(\frac{\partial y^1}{\partial x^2}\,\Delta x^2\,,
\ \frac{\partial y^2}{\partial x^2}\,\Delta x^2\,, \ \ldots\right),
\end{equation}
������ � ��������� ������ �� ������ (\ref{v2}) ��������
\begin{equation}
\label{dels}
\Delta S \ \simeq \ \Delta x^1\,\Delta x^2\,\det
\begin{pmatrix} \partial y^1/\partial x^1 & \partial y^2/\partial x^1 \\
 \partial y^1/\partial x^2 & \partial y^2/\partial x^2 \end{pmatrix} \
 \equiv \ \Delta x^1\,\Delta x^2\,\det\,\frac{\partial y}{\partial x}\ ,
\end{equation}
� ������������,
\begin{equation}
\label{jac2}
\int\!dy^1\,dy^2\,f(y) \
 = \ \int\!dx^1\,dx^2\,\det\,\frac{\partial y}{\partial x}\,f(y(x))\,.
\end{equation}
���� �� ������� ������� $dy^i$ �� ������ ������ ����������� ���������, �
������������������ ��������������� ������� $y^i(x)$\,, �� ����� �������
(\ref{jac2}) ���������� ������ ��������:
\begin{multline}
\label{}
dy^1\,dy^2 \ = \ (\partial_1 y^1\,dx^1 + \partial_2 y^1\,dx^2)\,
 (\partial_1 y^2\,dx^1 + \partial_2 y^2\,dx^2) \\
 = \ (\partial_1 y^1\,\partial_2 y^2
  - \partial_2 y^1\,\partial_1 y^2)\ dx^1\,dx^2 \
 = \ dx^1\,dx^2\,\det\,\frac{\partial y}{\partial x}\ .
\end{multline}

�������� � �������������� ���������������� ����. ����, ��������, ���
$\int\!dx f(x)$ ���� �������� �� 1-����� � ���������� ������������, �
$\int\!dx^1\,dx^2\,dx^3\,\Omega(x)$\,, � ���� (\ref{om})\,-- �� 3-����� �
����������. �������� ����� ������ $\gamma$
\begin{equation}
\label{gam}
\int_\gamma(\,a(x,y)\,dx + b(x,y)\,dy) \
 = \ \int\left(a(x,y(x)) + b(x,y(x))\,\frac{dy}{dx}\right)\,dx
\end{equation}
�� 1-����� � ��������� ������������ ���������� ���������� ����������, ����
������ ������ ����, � ���� ������� $y(x)$\,. ������� ����� ����������. ��
���������� ��� ����������, ����� ������� � ���������� ����� �� �����
�������� ������ ���������� -- \textit{������� ������}\,:
\begin{equation}
\label{Sto}
\int_\Gamma d\omega \ = \ \int_{\partial\Gamma} \omega\ .
\end{equation}
����������� $\partial\Gamma$ ����� ���������� ������� ������� $\Gamma$.
��� ����� ��������� � ������ ���������� (��� � �����) -- ����� ������
����� ������ ������� �����. ������� (\ref{Sto}) ����������, ��� �������� ��
��������� ������� $(N\!+\!1)$-������� ������������ �� ������������� $N$-�����
$\omega$ ����� ��������� �� ����� ����� �� ($N$-������) ������� ���� �������.
����������� (\ref{Sto}) �������� (������� ��� ������� ������) ����� ����������
������� ��������������� �������, ��� ������� �������-��������, �����, ������ �
��������������-������. ������ �� ���,
$\int^b_a\!dx\,f'(x)=\int^b_a\!df(x)=f(b)-f(a)$\,, ��������, ����������� �
(\ref{Sto})\,, ��������� �������� ������� $[a,b]$ �������� ���������,
��������� �� ����� $a$ � $b$\,, ������ ������ ������� � �������� ��������
���������� �������. � ���� �������, ����������
\begin{equation}
\label{}
d\,(a\,dx + b\,dy) \ = \ \frac{\partial a}{\partial y}\,dy\,dx
 + \frac{\partial b}{\partial x}\,dx\,dy \
 = \ \left(\frac{\partial b}{\partial x}
  - \frac{\partial a}{\partial y}\right)dx\,dy
\end{equation}
� (\ref{Sto})\,, �������� � ������� �����, � ��� �����. �������������� �����
������� (\ref{Sto}) �������� �� ��������� �����. �������� (\ref{d})\,, �
������� ���������� ����� ����� (\ref{Sto}) ��������� �������
�������-��������, ����������� ���� �� ���������� ��������������, ������
������� �������������� �� ���� ���������� ����� ��� ��� �� ������� �������
$\Gamma$. ������ �������������� ������� ������ (\ref{Sto}) ��������, �����
�������, � ���������� �������� ������.

\end{document}
