\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\textwidth 16cm
\textheight 25cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin -2cm
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\large\textbf{���������� ��� �������} \\[.2cm]
[�������� ������]
\end{center}

\vspace{.0cm}

\begin{center}
\textsc{�.\,�.\,����������} \\[.1cm]
\textit{��� ����} \\[.2cm]
\texttt{alvladim@theor.jinr.ru}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\large\textbf{����������}
\end{center}

\vspace{.1cm}

����� 1. \ ���������������� ��������� � ������������ �������� \dotfill \ \ 2

����� 2. \ �������� ��������� � ��������� �������� \dotfill \ \ 5

����� 3. \ ������� � ������ ��������������� \dotfill \ \ 13

����� 4. \ ���������������� ������� � ��������� ��������� \dotfill \ \ 20

����� 5. \ $\delta$-������� � ��������� ���� \dotfill \ \ 23

\vspace{2cm}

\begin{center}
\large\textbf{���������}
\end{center}

� ������ �������, ��������������� ��� ��������� ������� �����,
������������������ �� ������ � ������� �����������, �������� � ��������
������������ ��������� �������� �������������� ������� -- �������� ���������,
������� � ��� ������ -- �� ������� ������� ��������� ����������� ������.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 1 \\[.2cm]
\textbf{���������������� ��������� � ������������ ��������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

�������� ���������� ������������ �������� �������� ������ ����� �������
$ma=F$. ���� $F$ ����� ������� �������� � ���� ����������� �� �������������
������� $U(x)$\,. ����� ������������ ���������
\begin{equation}
\label{2Newt}
m \ddot x = - U'(x)
\end{equation}
��������� �������� ������������ ����� � ������ $m$ � ���������� $U(x)$\,.
���������� $x$ ��������� �������� ������� $t$\,, ������ $\dot x = dx/dt$, \
$U'(x)=dU/dx$\,. ��������� $U(x)$ ������ �����, � ���� �����
����������� $x(t)$ �� ����������������� ��������� (\ref{2Newt})\,.
���� ������ ������ ����� ���� ������ (���������������) ��� ����� $U(x)$\,,
��, ��� �� �����, ��� �� ��������, ������, ��� ��������� $U(x)$
����� ������� � ����� $x=0$ (``������������� ���")\,, � ���� ������������ �����
��������� ������ ��� ���� ���, �� ���� ����������� �������, ����� ���������
������. ����� ����� ��������������� ����������� ������� $U(x)$ ������ ��
��������,
\begin{equation}
\label{}
U(x) = U(0) + \frac{k}{2}\,x^2 + \mathcal{O}(x^3)\,,
\end{equation}
��� $k$ -- ��������� �����. �������� $U(0)$ ������ �������� ������ ����, ���
��� ��� ��� ����� �� ������ � ��������� �������� (\ref{2Newt})\,. ��� �����,
��� ����� $x$, ��������� (\ref{2Newt}) ����������� ��� ���������
\textit{����� ���������} ��� \textit{�������������� �����������}\,:
\begin{equation}
\label{osc}
m \ddot x = - k x \ \ \ \ \ \ \ \ \text{���} \ \ \ \ \ \ \ \
\ddot x = - \omega^2 x \ \ \ \ \ \ (\,\omega = \sqrt{k/m}\,)\ .
\end{equation}
��� ������� �������� ���������������� ��������� ������ (�� ������ � ��������,
�� � � ������ ������) ����������� ������ ����. �������������, ��� ���������
����� ��������� ������ �������� \textit{������} ������������� ����������
�, ��� �� ������ �����, ������� ������� ����������� � � ������ ��������
������.

���������� ������������������ �� $t$ �����������, ��� ��������� (\ref{osc})
������������� ������� $z e^{i\omega t}$\,. ������������ ����������� ���������
$z$ ������� � ���� $z=Ae^{i\varphi}$, ��� $A$ � $\varphi$ �������������.
�� ������, ������� $x(t)$ ����� ������ ���� ��������������, ��� ��� ����
����� �� ����������� ������� ��� �������������� ���� ������ �����
(��� ���� ������������� ��������� (\ref{osc}) � ���� ��� ����������),
������� �� ���������� � �������� (���� ������) �� ������� ������.
��� ������������, ������
\begin{equation}
\label{sin}
x(t) = A \sin (\omega t + \varphi)\,.
\end{equation}
�������� $\omega$ �������� \textit{��������}\,, $A$ -- \textit{����������}\,,
� $\varphi$ -- \textit{�����} ���������� �������. ����������� ��������� � ����
����� ������� ��������� �������, ������� ��������� ����� � �� �������� �
������ $t=0$\,. ��������, ������� $x(0)=0$ ��������
$\varphi=0\,, \ \dot x(0)=A\omega$\,.

��������� ��������������� ������ �������� ���� ������ (\ref{osc})\,, ����� ��
����, � ��� ����������� �������, $x(t)$ � $y(t)$, ��������������� ������� ��
���� ���������
\begin{equation}
\label{xy}
\left\{
\begin{aligned}
\dot x &= y\,, \\
\dot y &= -\omega^2\,x\,.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
����, ��� ��������� (\ref{osc}) � (\ref{xy}) ��������� ������������. ��
��������� �������� �������� ����� $\dot x$ ����� ����������� ��������
$y(t)$\,, ������� ���� �� ����� ����������� � �������� ���������������
���������. ������� ������� (\ref{xy})
\begin{equation}
\label{xysol}
\left\{
\begin{aligned}
x(t) &= A\sin(\omega t + \varphi)\,, \\
y(t) &= A\,\omega\cos(\omega t + \varphi)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
���� ��������� ������������� (\ref{sin})\,. ����� ���� ���� ���������������
������� �� �������� ���������� ������������ � ������������ $\{x,y\}$\,,
����������� \textit{������� �������������}\,. ������ ����� ��������
������������ ������������� ��������� ��������� ���������� ����� ����������
�������, � ����������, ����������� � ������ ����� (�������� ���������� �
��������)\,, ������ ������� �� ���������, ���������� ������� $t=0$\,,
����������� ����������� ��� ������� �������� �������� ������� � �� ��� ������
������� �������. �������������, �� ������ ����� ��������� ��������� � ����
���, ����� ��� $t=0$ ������� (\ref{xysol}) �������� ������� �������� �����
$\{x,y\}$\,, � ����� ������������� �������\'�� ����������� (\ref{xysol}) ���
�������� �� ��������� ���������� � ������� ������������ (����, ��� �����
������ ����� ����� ������������ �������� ����� ���� �������)\,.
� ���� ���������
\begin{equation}
\label{ell}
\omega^2\,x^2(t) + y^2(t) = A^2 \omega^2\,,
\end{equation}
���������� �� (\ref{xysol})\,, ��� ���������� �������� ���������, ����������
���� � ����� (������, ���������� ������� � ������� ����������, ����� ������
������� � �������)\,. ��� ����, ������� ���������, �� ��������� ����
���������� (���������� ������)\,, � ������� ���� -- ��������� ����� �� ����
�������. ������� � $A=0$ �������� �����������:
������������ ����� ����� �� ��� ������������� ��� � ������ �� ��������
(��������������� ������ ����������� � ������ ���������)\,. �������� ��������
������������ �������, � ���������, � ���, ��� � ��� ������������
����� \textit{���} ��������� ������� (���������� ����� ��� ���������
����������)\,.

�������� ������ ������� (����� ������������ � �������������) �������
(\ref{xysol})\,:
\begin{equation}
\label{E}
E = \frac{m}{2}\,{\dot x}^2 + \frac{k}{2}\,x^2
 = \frac{m}{2}\,y^2(t) + \frac{k}{2}\,x^2(t) = \frac{m\,\omega^2}{2}\,A^2\,.
\end{equation}
�� �����, ��� ������� ������� �� ��������� � �� ������� �� ���� �������:
������ ���������� (�������) ������������� ���� �������� ������ �������,
������� � �������� �������� �� ��������. �������, ��� ���������� ������
������� $m{\dot x}^2/2+U(x)$ ����� ����� � � ����� ����� ��������
(\ref{2Newt})\,:
\begin{equation}
\label{}
\dot E = m\dot x \ddot x + \dot x U'(x)
 = \dot x (m \ddot x + U'(x)) = 0\,.
\end{equation}

� ������ ����� ������� ������������ �������, ��������� �� ����������
������������ �����, ����� ������� ������������ �� ��������� � ���������
����� �\'������ �����������, ��������� �������� ��������� ��-��������
���������� (\ref{xy})\,:
\begin{equation}
\label{genxy}
\mathbf{\dot x} = \mathbf{v}(\mathbf{x})\,,
\end{equation}
��� ����������� ������ $\mathbf{x}$ ������ ����� � ������� ������������
(��������� ���� $\{x,y\}$)\,, � \textit{��������� ����}
$\mathbf{v}(\mathbf{x})$\,, ������������ �� ���� ������� ������������ --
������ ������ ����� � (\ref{xy}) -- ������ �������� ��������� ���
��������� �� ��������. ������ ������� ������� ���������������� ���������
���� (\ref{genxy}) ���������� � �����������, ��� ��� ����� ������ �����
�������� ������������ �������� ����� ���� ������������ ���������� (�������,
����� ��������� �������� ��������� � ��������� ���� ������, �� ����������
����������� �������� ���������� �������)\,. ������� $\mathbf{v}(\mathbf{x})$
� ������ ����� $\mathbf{x}$\,, �� �����������, ���������� � ����������,
���������� ����� ��� �����. ����� ������, \textit{��������������}
���������������� ��������� (\ref{genxy}) -- ������ ������ ��������� ���� �
������� ������������, � \textit{������} ��� ��������� -- ������ �������� �
���� ������������ ���������� ���, ����� ��� ������� �� ������� ���� ���� �
��� ����������.

� ���������� -- ��������� ���� � ��� ����������
\textit{������������� ����������}, �������� ����������� ���� �� ������ �
��������, �� � �� ���� ������, �������� ���������. ��������� �����������
\textit{��������} $p=mv=m\dot x$\,, ��������� (\ref{xy}) � ����
\begin{equation}
\label{xyp}
\left\{
\begin{aligned}
\dot x &= \frac{p}{m}\,, \\
\dot p &= -k x
\end{aligned}
\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{���} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\left\{
\begin{aligned}
\dot x &= \frac{\partial}{\partial p}\,H(p,x)\,, \\
\dot p &= -\frac{\partial}{\partial x}\,H(p,x)\,.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
����� ������� ������� $H(p,x)$ (\textit{������������})\,, �������������� �����
��������� ��� ������ ������� � ���������� $p$ � $x$\,:
\begin{equation}
\label{H}
H(p,x) \ \doteq \ \frac{p^2}{2m} + U(x) \ = \ \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}
\ = \ \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}\,x^2\,.
\end{equation}
� ����� ����� ������ ���������� ��������� � ��������� (���������� ��������
$i$) \textit{��������� ����������} ������ ���
\begin{equation}
\label{H2}
\left\{
\begin{aligned}
{\dot x}_i &= \frac{\partial}{\partial p_i} H(p,x)\,, \\
{\dot p}_i &= -\frac{\partial}{\partial x_i} H(p,x)\,,
\end{aligned}
\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
H(p,x) = \frac{1}{2m}\sum_i p_i^2 + U(\{x_i\})\,.
\end{equation}

�� ���������� � ���������� ������������� ��������, ������� ���� ��
������������ ������. ���� ���� �� ������� �� ���������� ������������ �����
������������� ��������� (\ref{H2})\,, ������� � �������� ����� �����
����������� ������������� � �������������� (�.\,�. ����������� �� �������)
����������� ����������. ���������� ���������� ������ ����� �����. �����,
��������, �������������
������� $U$ � (\ref{H2}) �� ������� �� ���������� $x_1$\,. ����� � ����
������������ �� ��� �� �������, � �� ���������
���������� �������, ��� ${\dot p}_1=-\partial H/\partial x_1=0$\,, �.\,�.
������� $p_1$ ����������� (�� ������� �� �������)\,. �� �������� ������
���������� ��������� -- \textit{����� ����������} $p_1=\text{const}$ -- ���
��������� ������������ \textit{���������}
������������� ������� (� ������ ������ -- ��� ������������� �� ����������
$x_1$)\,. ����� ����� ���������� ��������� ������������� � ��������
���������� ���������������� �� ��� ���������� ������. � ���������, ����������
���� ���������� ������ ������� ����� ����� �������� �������������
������������� $H$ �� ������� $t$\,.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 2 \\[.2cm]
\textbf{�������� ��������� � ��������� ��������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

� ������������ ��������, ����������, ��� �� ������, �� ����������������
����������, ���������� �������� (��������� ���������, ������� � �.\,�.) �����
��������� (� �������� ��������) ����� ��������� ��������, \textit{����������}
��������� �� ��������� �������. �������� � ��������� ������ ������������� ����
-- ���������������� �����������, ��� ������ ���������� ��������������
��������� ������ (��������, ������) ��������� �������� ���� �� ����������
\textit{�����������} ������. �������������, ��� ��� ���������� �����, ���������
������ ������������ � ����� �������������� ��������, �� ����� � ������ ����� ��
�������������. � ���������, ����������� �������� ���������������������
���������� �� ������������� �������� ������������� ������ ���������� �������
� ����� ��������������� (�����������������) �������� -- �������� ����������.
������ � ��������� �������� ������, ���������� �������� ����������� �
����������, ����������� ��� ������������ ������� ��������� ��������� ��������.

� ����������� ��������� �������� ������������ ������ �������� ��������������.
�� �� ������� �������������� ������.
\textit{��������} (��� \textit{���������}) \textit{������������}
$V$ ������� �� \emph{��������} -- �������� ���� ���������� ����:
\begin{equation}
\label{V}
\mathbf x =  x^i \mathbf e_i \equiv \sum_{i=1}^{N} x^i \mathbf e_i\,.
\end{equation}
(� ���������� �� ����� �������� ���� �����, ������ ������������ ������������
�� �������������� �������; ��� ���� �����, ������������ ������ ������������,
�� ������ ������ �������������� � �������� ������� � ��� �� ���������)\,.
����� $x^i$ ���������� \textit{������������} ��� \textit{������������}
������� $\mathbf x$ ������������ \textit{������} $\{\mathbf e_i\}$\,; �����
������� ��� ����� ������������� ��� ������������ (� ������������ $V$ ��������
�������������� \textit{������������} ��� \textit{�����������})\,. ����������
����� �������� �������� $\mathbf e_i$ ������������ ����� $\delta$-������:
\begin{equation}
\label{delta}
(e_i)^j \ = \ \delta_{i}^{j} \ \doteq \ \left\{
\begin{aligned}
&1 \ \ \ \ (i=j) \\
&0 \ \ \ \ (i\neq j)
\end{aligned} \right.
\end{equation}

����������, ��� �������� (\ref{V}) ������ \textit{���} �������� ������������
$V$, ������� ������ �������� � ��� ���. ��� ���� ��������� ������ ���������
$x^i$ ������ \textit{������} �������, � �������� -- ��� ������� ����� ������
� ��� ������, ����� � ��� ������� ����� \textit{���} ����������. �������
�������, ������� �� $V$ \textit{���������� ����������� �� ������}\,, � ����
�������� ������� $\mathbf e_i$ \textit{������� ����������}\,, �.\,�. ���� ��
��� �� ����� ���� ����������� � ���� ����� ��������� � ������-�� ���������
��������������. ����� �������� ��������, ������� ��, ������������, �� ���
�������, ��������� � ��������� �� ������ ������ � ������� �� ������� ��
��������� �����.

��� ��������� ����� ����������� \textit{�������� ��������} --
���������� �� ���� � ������ � �������� �� �����:
\begin{equation}
\label{add}
\mathbf{x + y} \doteq (x^i + y^i)\,\mathbf e_i\,, \ \ \ \ \ \ \ \
\lambda\,\mathbf x \doteq  (\lambda x^i)\,\mathbf e_i\,.
\end{equation}
� ���������, ������ $\mathbf0$, ��� ���������� �������� ����� ����, ��������
������������ ������� (��������������� ������� $\mathbf x + \mathbf0 =
\mathbf x$) ��������� � $V$. \textit{����������������} ���������
������������ $V$ ���������� ����� ������������ ��� ��������, ���������
������������ �������� ��������. ����� ������, �������� ��������,
������������� ���������������, � ��������� �� �� ����� �� ������ �������� ��
���������������. ������ $\mathbf0$ ����������� ������ ���������������.
����� $N$ � (\ref{V}) ���������� \textit{������������} ������������ $V$.
��������� ����� �������� $N$ � ������ ����: ��������������� (����������)
������������ ��������� ��������� �� ������ ������� $\mathbf0$. ������� ��
$N$ (� ����� �������� ��������) ������ �������������, �� �������� � �������
\textit{�����������������} ��������� ������������.

��������� ������������ ����� $\mathbb{R}$ �������� ���������� ������������
�������� �������������: � �������� ������������� ��������� ������� $\mathbf
e_1$ ����� ����� ����� 1, ���������� $x^1\in\mathbb{R}$. � �� �� �����,
��������� ����������� ����� $\mathbb{C}$ (����������� ���������) �����
���������� � ��� \textit{����������} ����������� ������������ � �������
$\mathbf e_1=1 \ (x^1\in\mathbb{C})$,
� ��� \textit{���������} ������������ ������������ � �������
$\mathbf e_1=1,\,\mathbf e_2=i \ (x^1,x^2\in\mathbb{R})$\,.

\textit{�������� ����������}\,, ����������� � ������������ $V$, ����������
����������� $A:V\rightarrow V$, ��������������� ������� ����������
($\alpha$ � $\beta$ -- �����)
\begin{equation}
\label{endom}
A(\alpha \mathbf x +\beta \mathbf y) = \alpha A\mathbf x +\beta A\mathbf y\,.
\end{equation}
����������, ��� �������� ��������� \emph{������} $\mathbf x\in V$ �
\emph{������} (���� �� ������������)\,, � ������� �� \emph{�������} �� $V$,
������� ������������ �� ������� ������� ��������� \emph{�����}\,.
\emph{����������} �������� �� $V$ -- ������, ������ ��������� ��� �������� ��
\textit{������} ������ �� $V$. �������, �� (\ref{endom}) �����, ��� ���
������� \emph{���������} ��������� $A$ ���������� ����� ��������� ��� ��������
���� �� �������� �������. �������������,
\begin{equation}
\label{linA}
A\mathbf x = A(x^i\mathbf e_i) = x^i(A\mathbf e_i)
 = x^i A_i^j\mathbf e_j = (A_i^j x^i)\,\mathbf e_j\,,
\end{equation}
��� �������� ������������ $A_i^j$ ��������� ������� ������, �������� �
���������� ������� $A\mathbf e_i$ �� ������ � ������� ����������
������� $A\mathbf x$ ����� �������� $x^i$:
\begin{equation}
\label{2}
A\mathbf e_i = A_i^j\mathbf e_j\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 (A\mathbf x)^j = A_i^j x^i\,.
\end{equation}
��� ������������, ��������� ��������������� �������� �������� $A$\,, ��������
��� \textit{���������� ����������}\,: �� ��� ������������ ���������� �������
������� $N\times N$\,; ������� ������ �������� �� ������, � ������ -- �������.
\emph{������} ������� $A$ �������� ����� ��������� �� ������� ���������:
$\text{tr} A=A^i_i$\,. ������������ (�� �������) ��������� ���������� ��������
������� ��������, ����������� ����� ������ � $\mathbf0$ (��� ��� ���������
�������� ����� ����)\,, � \textit{�������������} ��� \textit{���������}
�������� $\mathbb I$ -- ��� ������������� ��������� ������� $\mathbf{1}$\,,
�������� ������� �������� $\delta$-��������:
$\mathbb I\mathbf x=\mathbf x, \ \mathbb I_i^j=\mathbf{1}_i^j=\delta_i^j$\,.
������� ��������� ������� ������� ������ � ���� ��������, ��������,
\begin{equation}
\label{2.1}
\delta_i^j x^i \ = \ x^j\,, \ \ \ \ \ \ \delta_i^j A^k_j \ = \ A^k_i\,,
\ \ \ \ \ \ \delta_i^i \ = \ \text{tr}\,\mathbf{1} \ = \ N\,.
\end{equation}

��� ���������� � �� ������ ������������ ������� ������������ �������� ��������
� ��������� �� �����:
\begin{equation}
\notag
(A + B)\,\mathbf x \doteq A\mathbf x + B\mathbf x\,, \ \ \ \
(A + B)_i^j = A_i^j + B_i^j\,, \ \ \ \
(\lambda A)\,\mathbf x \doteq \lambda(A\mathbf x)\,, \ \ \ \
(\lambda A)_i^j = \lambda A_i^j
\end{equation}
(��������� ������� �� ����� ���� ��������� \textit{�������} �� �������� �� ���
�����)\,. ����� �������, �������� ��������� �� ������������ $V$ ���� ��������
�������� ������������ (����������� $N^2$)\,. ������ �����, ���������
����� �������� � ���� �� �����: ��������� ������������ ��� ��
���������������� ����������,
\begin{equation}
\label{mult}
(AB)\,\mathbf x \doteq(A\circ B)\,\mathbf x = A(B\mathbf x)\,.
\end{equation}
�������� ���������� ��������� �������:
\begin{gather}
\label{alg}
(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\,, \ \ \ \ \ \ \
A(\lambda B) = (\lambda A)B = \lambda (AB)\,, \\
(AB)C = A(BC)\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb I A = A \mathbb I = A\,.
\end{gather}
�� �����, ��� ��������� ���������� ������������ � ����������� ���������
�������� ��������� ������, � $\mathbb I$ ������ ���� �������.

��������� ������������ ����������, ���������� �� �� �����, �������� ��, ���
��������� ���������� ��������������: � ����� ������ $AB\neq BA$\,.
�������������, ����� ��������� ���������� ����� �������� �� ����� ��
��������� ���������. ��� ����� ���� ����� $(AB)_i^j$\,, ����������������
������������ $(AB)\,\mathbf e_i=(AB)_i^j\mathbf e_j$\,:
\begin{equation}
\label{compos}
(AB)\,\mathbf e_i = A(B_i^k\mathbf e_k) = B_i^k A_k^j\mathbf e_j =
  A_k^j B_i^k\mathbf e_j
\ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ (AB)_i^j = A_k^j B_i^k
\end{equation}
(��������� ��������, � ������� �� ����� ����������, �������� ������� � ��
����� �������� ������������)\,.
������� (\ref{compos}) ������������ ����� �������������� ������ ����������
������� ������������ ������ ``������ �� �������". �� ����� �� �������,
�������� ������� ��������� �� (\ref{2})\,, �������� � ��������� �������
��������� �� �������, ������������ �� ��������� �������.
������, ��������� ��������� �������� ��� $AB$ � $BA$\,,
$$
(AB)_i^j=A_k^j B_i^k \ \ \neq \ \ (BA)_i^j=B_k^j A_i^k=A_i^k B_k^j\,,
$$
�� ���������� � ���, ��� ��� ������������� ������������ ���������. �������,
� �����-�� ������� ��� ��������� ����� ��������� � ����������������. �� �
\textit{�����} ���������� ����������� ������ $\lambda\mathbb I$ -- ��������,
���������������� ����������.

��� ������ � ������������������ ��������� (�����������, ��������� � �.\,�.)
������ ������ ������� \emph{�����������} � ����������� ����������� ��� ����:
\begin{equation}
\label{comm}
[A,B] \ \doteq \ AB-BA \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
[A,B] \ = \ -[B,A]\,, \ \ \ \ [A,A] \ = \ 0\,.
\end{equation}
���� �� ����� ���� ������ � �������, ������������� � ����� ������� ��
���������, ��� ������ ����� ������� ��������� ������ ���������� � ����.
�������� �������� ����� �������� ������������, ���������� ��������������� ��
����������� (\ref{comm})\,:
\begin{gather}
\label{2.2}
[A,BC] \ = \ [A,B]C + B[A,C]\,, \ \ \ \ \ \ [AB,C] \ = \ [A,C]B + A[B,C]\,, \\
\label{Jacobi}
[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] \ = \ 0\,.
\end{gather}
��������� (\ref{Jacobi}) �������� \emph{���������� �����}\,. ������� ��� ����
���������� ����: ���� ����������� ������ ������ ����� ����. �������������,
\begin{equation}
\label{2.3}
\text{tr}\,[A,B] \ = \ [A,B]^i_i \ = \ (AB)^i_i - (BA)^i_i \
 = \ A^i_k B^k_i - B^i_k A^k_i \ = \ 0\,.
\end{equation}
������ -- ����������� \emph{����������� ������������} ������������ ���
������ �����:
\begin{equation}
\label{2.4}
\text{tr}\,(AB) \ = \ \text{tr}\,(BA) \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
\text{tr}\,(ABC) \ = \ \text{tr}\,(CAB) \ = \ \text{tr}\,(BCA)\,, \ \ \ldots
\end{equation}
������ ������ �������� ������������ � �������� ������������ ��������
\begin{equation}
\label{ad}
e^B A\,e^{-B} \ = \ A + [B,A] + \frac{1}{2}\,[B,[B,A]]
 + \frac{1}{3!}\,[B,[B,[B,A]]] + \,\ldots\ ,
\end{equation}
��� ���������� �� ������� ������� �������� ��� ���������� ���. ��������������
��������� (\ref{ad}) (������� �� �������) ����� ���� ��������� �� ���������
�����: �������� $B$ �� $tB$\,, ����� ������������������� �� ��������� $t$
� ����������� ������� ������������� ����������������� ��������� � ���� ����.

���� ����� ����� � �� �������� ��������������� ��������� �������� �������, ��
��� �� ������������ (��� �������������, �������� �� � �������� ����������) ���
�� �������� �����������, ������� ��������� � �������� ������� �������. ����:
����� $N+1$ �������� � $N$-������ ������������ ������� ��������; ����� �����
�� $N$ ������� ����������� �������� ����� ������� � �������� ������; �������,
��������������� ������� $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$\,, �������� ���������������
(\emph{����} ��������� ��������� $A$)\,; ������� ���� $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$
���� �������� ��������������� (\emph{�����} ��������� ��������� $A$)\,; �����
������������ ���� ���� �������������� ����� $N$; �������� $A$ ������� (���
������� ����� ��������) ���� � ������ ���� ��� ���� ��������� (������� ��
������ ������� $\mathbf{0}$)\,, � ����� ��������� � $V$:
\begin{equation}
\label{ker}
\text{����}\,A \ = \ \mathbf{0} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \
\text{�����}\,A \ = \ V \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \
\exists\,A^{-1} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \det A \neq 0\,.
\end{equation}

� ��������� �������� � ������ ����������� ������ ���� ������
\textit{����������� �������} �������� ����������. ����������� ��������
��������� $A$ ���������� ����� ��������� ������ $\mathbf{x}$\,,
��������������� ����������� $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$\,, ��� $\lambda$
-- ��������� ����� (��� ����� ���� � �����)\,, ���������� \textit{�����������
���������} ��������� $A$ �� ������ �������. �� ����, �������� ��������� ��
����������� ������ �������� � ���������� ����� ������� �� �����. �������, ���
���� $\mathbf{x}$ -- ����������� ������, �� � $\alpha\mathbf{x}$ ��� �����
$\alpha\neq 0$ ���� �������� ����������� �������� ������� ���������.

������ ���������� ����������� �������� ������� �� ��������� �����:
\begin{equation}
\label{eig}
A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \ \
(A - \lambda\mathbb I)\,\mathbf{x} = \mathbf{0}
\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \ \ \det(A - \lambda\mathbb I) = 0\,.
\end{equation}
�������������, ��� �������� $(A - \lambda\mathbb I)$ ���������
\emph{���������} ������ $\mathbf{x}$ � $\mathbf{0}$, �� �� ���������, � ������
����������� ��� ������� ����� ����. � ����� ���� �������
\begin{equation}
\label{det}
\det(A - \lambda\mathbb I) = \det
\begin{pmatrix}
A_1^1-\lambda & A_2^1 & \ldots & A_N^1 \\
A_1^2 & A_2^2-\lambda & \ldots & A_N^2 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
A_1^N & A_2^N & \ldots & A_N^N-\lambda
\end{pmatrix} = 0
\end{equation}
�������� �������������� ���������� $N$-� ������� ������������ $\lambda$\,.
� ����������� ������ ��� ����������� ����� ���� �� ���� �������. ������
������� ������ �����\,: � ������������� ����������� �������� ������������ �
������ ��������� ��������� ������� (���� �� ����) ����������� ������. �
������������ ������������� ��� �� ���: ���������� ���������, � �������
������ ��� ����������� ��������.

��������� ������ � ����������� ������������ ����� ������� ���������
������������ �� ����������� �������� ���������� ��������� $A$. ���� ���
��������, �� $A\,\mathbf e_i=\lambda_i\mathbf e_i$
(������������ �� $i$ ���!)\,, � ������� ��������� $A$ \textit{�����������}\,:
�� ��������� � ��� ����� ����� $\lambda_i$ (����� ������� ����� ���� �
�����������)\,, � ��� �� �������������� �������� -- ����. ����� �����
�������� \textit{����������� �������} ��������� $A$. ��������, ��� ���������
$\alpha\mathbb I$ ����� ����� -- ����������� (��� ��� ����� ��������� �����
��������� ������ -- �����������, � ����� � ��� �� ����������� ���������
$\alpha$)\,.
�� ����������� ����� ���������� �� ������ -- � ��������� ����� �� �������
������������ ���������� ������� ����������� ����������� �������� ���
������������ ������. ������ �������, ����� ����������� ����� ��������
����������, �������� �����: �������� $A$ ����� ����� $N$ \textit{���������}
����������� �������� $\lambda_i$ (��� ������, ��� ��������� (\ref{det})
����� $N$ ������)\,.

�� ���� ������������� ������� ����� �������� �������, � �� ��������� �
��������� ��������. ��������� � ���������� � ������ ����������� ����
�������������� �� �������� ��������.  � ������ ���������� ��������
���������� ������� ����� ������� \textit{���������} ���������������
���������� �������, ������������� ������������ �������� $|\Psi\!>$ �
��������� (��� �������, ����������������) ����������� �������� ������������.
������������ ��������� ����������� ��� �������� �������� (� ������
�������������) ������ � ��������� ��������; � ��� ���������� �� ��� ��������.
�� ����, ������ $|\Psi\!>$ �������� ��� ��������� ���������� � ���������
�������. ���������� ���������� ��������� (\textit{�����������}) �������� �
������������ �������� ���������, ����������� � ������ ������������. ������
����� �������� $A$ ������ ����� ����������� ����� $\{\mathbf e_n\}$
(������������ ������ � ���� $\{|n;A\!>\}$; ������ $n$ ����� ���� ���
����������, ��� � �����������), ������ ���
��� ����������� �������� $A_n$ ������ ���� �������������:
\begin{equation}
\label{nA}
A\,|n;A\!> \ = \ A_n\,|n;A\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_n^* \,=\, A_n
\end{equation}
(����� ��������� �������� \textit{����������})\,. �������������, ���
����������� ��������� ���������� �������� $A$ ����������� �������� ���� �� ��
����������� �������� $A_n$\,. ������, ���� ������� ���������� � ���������
$|\Psi\!>\,=|n;A\!>$\,, �� ��������� ���� ������ �������� $A_n$\,;
���� �� ��������� �������, ����������� �� ������������ ������
��������� $A$, ����� ���
\begin{equation}
\label{psi}
|\Psi\!> \ = \ \sum_n \beta_n\,|n;A\!>\,,
\end{equation}
�� ��������� ����� ������������� ��������: ��� ����������� ����� ����� �����
�� ����� $A_n$ � ������������, ���������������� $|\beta_n|^2$. ����� �������,
��� `�����' ��������� ������� � ������ �� ����������� ��������� $|n;A\!>$,
��� ���� ����������� �������� �������� $A_n$ � ���������� ��������� ��������
$A$. �������� ���������� �������� �������� ����� (�������: �����������
��������� ������������ ��������) ������ � ��� ������, ���� ������� ���������
� ����� �� �� ����������� ���������; ����� ��� �������� ����� ���������,
� ��������� ������������, ������ ��������.

��������������� ��������� �� ������� \textit{���������� �����������}\,.
����� �������������� ����� ��������� ������, ���� ������ �������� �������,
�� ���� ������������. � ����� ������ �� �� �������� ���� �� ���������� ��
������ ������������� ������� (\ref{H})\,. �� � ��������� �������� ���������� �
������� ������� ������� �����������: ����������, ������, �������� �������
������������ ���������� $x$, ���� ���� (���������) �������� ������
��������������� �����������,
\begin{equation}
\label{qH}
p \,=\, -i\hbar\,\partial_x \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \
H \ = \ \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}\,x^2
\ = \ -\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2 + \frac{m\omega^2}{2}\,x^2
\end{equation}
(����� $\hbar$ -- ��������������� ������� ���������, \textit{����������
������})\,. �������, ��� �������������������� ���������� � ������� ��
�����������:
\begin{equation}
\label{xp}
\partial_x\circ x = x\,\partial_x + 1 \ \ \ \ \ \text{���} \ \ \ \ \
[\partial_x\,,\,x] = 1 \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \
 [p,x] = -i\hbar\,.
\end{equation}
�������� ��������� � (\ref{xp}) ����������� ��������� �� ������������ �������:
\begin{equation}
\label{}
\partial_x(xf(x)) = f(x) + xf'(x) = (1 + x\partial_x)f(x)\,.
\end{equation}
�� $x$ � $p$ ����� ��������� ��� ���������,
\begin{equation}
\label{aa*}
a^+ = \frac{m\omega x - ip}{\sqrt{2m\omega\hbar}}\,, \ \ \ \ \ \ \
a = \frac{m\omega x + ip}{\sqrt{2m\omega\hbar}}\,,
\end{equation}
����������, ��������������, ����������� \textit{��������} �
\textit{�����������}\,. �� (\ref{xp}) ������� ��������������� �����������
��� ���:
\begin{equation}
\label{cr}
a a^+ = a^+ a + 1 \ \ \ \ \ \text{���} \ \ \ \ \ [a\,,\,a^+] = 1\,.
\end{equation}
���������
\begin{equation}
\label{px}
x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,(a + a^+)\,, \ \ \ \ \ \ \ \
p = \sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\,i\,(a^+ - a)
\end{equation}
� (\ref{cr})\,, �������
\begin{equation}
\label{Haa}
H \ = \ \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}\,x^2 \
 = \ \hbar\omega (a^+ a + \frac{1}{2})\,,
\end{equation}
������� ��� ����� ��� ������������ ����� ��������� $a$ � $a^+$. ������ � ����
���������� ����� �������� �� $x$ � $p$ � ����� ����������. ���� ���� ���������
$a$ � $a^+$ �� ������������� ������� ���������� ����������� ��������� (� ��
�������� ����������)\,, ��� ����� ������ ������� ��������� ������ ���
������ �������, ��� �������� � (\ref{px})\,,(\ref{Haa})\,, ������������
����������� ������ ���������� �� ����������� �������� � ����������� ��������.
� ����� ������ �� ������ ���� �������� ����� �������� �������
���������� �����������.

�������� ����� ����������������� ��������� ������������ $\mathsf{B}$\,, �
������� ��������� ��������� $a$ � $a^+$; �� �������� ��� � ����������� �������
��������� $H$. ����� �������, ��� ��� ��������� �������� � ����������� ��
����� ������ ���� -- �� �������������� ����������� (\ref{cr})\,. ��������
�����, ��� � ������������ $\mathsf{B}$ ������� ������ $|0\!>$, ����������
\textit{��������} (�� ������ � ������� �������� $\mathbf0$)\,, ���������������
��������� $a\,|0\!>=\mathbf0$\,. ����� ����� �������: �������� $a$\,, ���
�������� �����������, ������, �������� �� ����� ������ ���������, ���-�� �
���� ��������� ����������; �� � ������� ���������� ��� ������, �������
�������� ������ ��� ��������. ������� $|0\!>$ � �������� ������� ���������
�������. ������ ����� ����� $|1\!>=a^+|0\!>$ -- ��������� �������� ���������
�������� �� ������. �������, ��� ��� ���� ������� ���� (�������������)
\textit{�����}\,. ��� ����� ������� ���������� ������������ �������: ��� ��
������ � ��������� �����, �������������� ��������� ���������� �������� �
����������� ����� ��� ��������� ����������� � ��������� ������ ����. ���������
��������� $a$ ���� ����� ����� ������������:
\begin{equation}
\label{}
a\,|1\!> \ = \ a\,a^+|0\!> \ = \ (a^+a + 1)\,|0\!> \ = \ |0\!>\,.
\end{equation}
���� �������,
��� \textit{������������ �����������}\,, �� ������ ������� ������ ��� ��������
��������� ����� ����������� ��������� ������, ����� ���� � ��������� (���
������������) ���������� ��������� ������ ��������� ���������� ��������.

��������� �� ��������, ������� ���������, ���������� $n$ �������:
\begin{equation}
\label{nq}
|n\!> \ \doteq \ \underbrace{a^+\ldots a^+}_n|0\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
a\,|0\!> \ = \ \mathbf0\,.
\end{equation}
����������� ����� �������� $\{|n\!>\}$ ����� ����� � �������� ������
������������ $\mathsf{B}$\,, � ��������������� ��������� ��� ���������� �������
�������������� ������������ ����� ������������.
������ ����� ���������� ���� ��� �����������:
\begin{equation}
\label{act}
a^+|n\!> \ = \ |n+1\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \ a\,|n\!> \ = \ n\,|n-1\!>\,.
\end{equation}
��� ������ ���������� ��������� (� �� ������) ������� �����������
\begin{equation}
\label{2.5}
a (a^+)^n \ = \ (a^+)^n a + n(a^+)^{n-1}\,, \ \ \ \ \ \
a^n a^+ \ = \ a^+ a^n + n a^{n-1}\,,
\end{equation}
���������� �� (\ref{cr}) ��� (\ref{2.2})\,, ��������,
\begin{equation}
\label{ex1}
a\,a^+a^+ = (a^+a + 1)\,a^+ = a^+(a^+a + 1) + a^+ = a^+a^+a + 2\,a^+.
\end{equation}
�� �����, ��� ���������
�������� � ����������� ������� ��� �� ��� -- �������� $a^+$
\textit{���������}, � �������� ��������� $a$\,, ��������, \textit{�������}
����� ���� �����. �������, �� ������� (\ref{Haa}) ���������, ��� ��������
������� $|n\!>$ ������������� �������� ������������ ��� ��������� �������:
\begin{equation}
\label{Hn}
H\,|n\!> \ = \ H_n\,|n\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \
H_n = \hbar\omega(n + \frac{1}{2})\,, \ \ \ \ \ \ \ n = 0,1,2,\ldots
\end{equation}
����, ���� ������ \textit{�������������� ������} (��������� �������� �������)
���������� �����������. ��������� ����������� ������ ������������ � ���
�������; ���������� ������ ������ ����������� ������� (������) ��������� ��
�������� $\hbar\omega$\,.

�� ���� �� �������� ��� ������� ������� � ��������� �������� � ����������� �
����������. ��� ���� �������, ��� �������� ���������, ����������� � ���������
�������� ������������, ����� ������������� � �������� ��������� (��������)
������� ��������� ������������. � ����� ����, �� �����
�����������. �������� ������������ � ������������ �� ��� ��������� ���������
�������� ���� �� ����� � ���������� ���������� \textit{��������}\,.
� ���������, �������� ��������� �������� \textit{������������� ������� �
��������}\,, � ����� �� ��������� ������ ��������� (\ref{mult}) �
(\ref{compos})\,. ������ ���������� ������ �������� ������ ���������
(��������� �������) �� �������� ������������ ������� � ����� �������
\textit{������� ���������} �������� �������� ���� �� ����� � ���������
������� (\ref{alg})\,,
\begin{equation}
\label{tabl}
\mathbf e_i\,\mathbf e_j = C^k_{ij}\,\mathbf e_k \ \ \ \  \ \ \Longrightarrow
\ \ \ \ \ \ \ \mathbf x\,\mathbf y = C^k_{ij}\,x^i\,y^j\,\mathbf e_k\,.
\end{equation}
������ �������� \textit{����������� ��������} $C^k_{ij}$ ���������
����������� ����� ��� �������. ���� ������ ������� � ���
���������� ������, �� ���������� ��������� �������� ����������. ��������,
��������� ����� ��������� ���������� ��������� ������������ ������������
� ����������� ��������� $\mathbf e_1=1\,,\mathbf e_2=i$\,:
\begin{equation}
\label{compl}
\mathbf e_1\,\mathbf e_1 = \mathbf e_1\,, \ \ \ \ \ \
\mathbf e_1\,\mathbf e_2 = \mathbf e_2\,\mathbf e_1 = \mathbf e_2\,,
\ \ \ \ \ \ \mathbf e_2\,\mathbf e_2 = -\mathbf e_1\,.
\end{equation}

����� (�������� � ���������������� ������) ������� ��������� ����
(\ref{tabl}) �������� ��-�� ����� ������������. ������ ��� ������ �������
��������� ��� ���������� ��������������� ������� �����, ���������� ��
�������� \textit{����������} (��� \textit{�����������}) � ������� ��� ���
������ ������������ �����������. � �������� �������� ������� ������ �������
���������� �������������� ����������� (\ref{cr})\,, ������������ ��� ���
\textit{������������} ����������, ���������� �� ��������� ���������
����������� �������� $a$ � $a^+$, ������� �� ���� �� ����� ��������
�����������, ��������� ���� �� ������ ���� ������ ����������������
������������, ��� ��� ����� �� �����������. ��� ���� ��� ��� -- �����������
�������, ������� ����� ����������, �������� �� ����� � ���� �� �����,
�������� ������� (\ref{cr})\,. ����� �� ������� ����������� �����������
$a$ � $a^+$ ����� � ��������� �������������� ������������? ��� ������ �� ����
������ ���������� ���������� �� �����. �� ����������� ����������� �
����� ���� ������ � ��������� ����:
\begin{equation}
\label{base}
1 \ \ \ \ a \ \ \ \ a^+ \ \ \ \ aa \ \ \ \ a^+a \ \ \ \ a^+a^+ \ \ \ \ aaa
\ \ \ \ a^+aa \ \ \ \ a^+a^+a \ \ \ \ a^+a^+a^+ \ \ldots
\end{equation}
������� � ����� ����� ������������ ����������, � ������� ��� $a^+$
����� \textit{�����} ��������� $a$\,, �� �������� ��� ���������, ���������
��� ����� ���� ������� � ���������� �������� ������������ �����������
������ (\ref{2.5})\,.
������� ��������� ��������� ����������� ������ (� ������ ����� ���������
�������) �������� -- ���� �������� ����������� ������, ��� ������
������������, � �����, ��������� (\ref{2.5})\,, ���������� ��� ��������� $a$
����� �������. ���, ������� (\ref{ex1}) ���� ������ ��������� $a$ �� $a^+a^+$
��� $a\,a^+$ �� $a^+$. ������� ������� ��� ����� ���������. � ������ ������
���, �����������, ��������� � �������� \textit{����������} �������� �
�����������, ����������� � ������������ $\mathsf{B}$ �� ��������
(\ref{act})\,.

������������� ������ ������ ������������ ����� ������� ���������� ������
������� �� ������� ������ ����������: �� ������ ������������ �� ����������
������������ (� ����� �������� ������������) ������� �������� ����
�����������, �������� ��, ��� �������� � ��� ���������� � ���� ������������
�����������. ��� ����� ������� �� �������� ������ �����������
(���������-�����������!) ������� ��������� -- �� ���������� ��������
������������ �����������, � ������� ���������� �� �� ����������.

���������������� ������� (\ref{base}) ��� ����� ����������� $a$ � $a^+$ �
������������ �������������� ������������ (\ref{cr}) ����������
\textit{��������} ��������, ��� ��� ������ � ��������� ������ �������
��������������� �������� ������ � ����� ������ -- \textit{�������}\,.
��������� ����� ����������� \textit{����������} ������� --
\textit{�������������} ������� ��� ����� ����������� $c$ � $c^+$ �
������������� \textit{�������������������} �������������
\begin{equation}
\label{ferm}
c\,c^+ + c^+ c = 1\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ c\,c = c^+ c^+ = 0\,,
\end{equation}
����������� ��� �������� ������ � ��������� ������ -- \textit{���������}\,.
� ���������� �������, ����������� (\ref{ferm}) ���������� �� (\ref{cr}) ����
������� ������������ $[A,B]=AB-BA$ �� \textit{���������������}
$[A,B]_+=AB+BA$\,: �������� $[c,c]_+=2\,c\,c=0$ �� (\ref{ferm}) ������
�� ���������� ���� � (\ref{cr}) ����������� ��������� $[a,a]=a\,a-a\,a=0$\,.
����������� ����� ��������, ������, ������ ���������� -- ����� ����������
��������� (� ����� ������ $c$ ���� $c^+$) ���������� ��� ���������� � �������.
��������� ��� �������� ������������� �������� ����� ������ ����������� ������
������� ���� (\textit{������� �����})\,. ��� ���������: ������� (\ref{nq})
����������, ��� ���������� ������� ����� �������� ������� ������.
����� ��������� ����� ���������� ������� -- �� ������� ����� �� �������
���������,
\begin{equation}
\label{basef}
1 \ \ \ \ \ \ \ c \ \ \ \ \ \ \ c^+ \ \ \ \ \ \ \ c^+c\,.
\end{equation}
��� ������ (� ��� ����� ����� �������) ������������ � ��� ��������,
��������, \ $c^+c\,c^+=c^+(1-c^+c)=c^+$. ���������� �������, ��� � ��������,
��������� ���������� � ���� ������� ���������� �������� � �����������.
��������������� �������� ������������ $\mathsf{F}$ ��������,
\begin{equation}
\label{F}
c\,|0\!> \ = \ \mathbf0\,, \ \ \ \ c^+|0\!> \ = \ |1\!>\,, \ \ \ \
c|1\!> \ = \ |0\!>\,, \ \ \ \ c^+\,|1\!> \ = \ \mathbf0\,,
\end{equation}
��������� �������� � ����, ����� ����������, ������ ������������� ���������.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 3 \\[.2cm]
\textbf{������� � ������ ���������������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

\textit{�������� �������} $f$ �� �������� ������������ $V$ ������������
������� ������� $\mathbf x$ ����� $f(\mathbf x)\equiv\ <\!f,\mathbf x\!>$,
������
\begin{equation}
\label{linf}
<\!f,\,\alpha\mathbf x + \beta\mathbf y\!> \
 = \ \alpha<\!f,\mathbf x\!> \ + \ \beta<\!f,\mathbf y\!>\,.
\end{equation}
�������� ������� ����� ���������� � �������� �� ����� �� �������
\begin{equation}
\label{sumf}
<\!\alpha f + \beta g\,,\,\mathbf x\!> \
 = \ \alpha<\!f,\mathbf x\!> \ + \ \beta<\!g,\mathbf x\!>\,;
\end{equation}
� ���� ����� ��� ���� �������� �������� ������������ $V^*$, \emph{��������} �
$V$. � �������� ������ ������������ $V^*$ ������ ����� \textit{������������}
������� $e^i$, �������������� ������� $\mathbf x$ ��� $i$-� ����������
$x^i$\,:
\begin{equation}
\label{cof}
<\!e^i,\mathbf x\!> \ = \ x^i\,, \ \ \ \ \ \ \
<\!e^i,\mathbf e_j\!> \ = \ (\mathbf e_j)^i \ = \ \delta^i_j\ .
\end{equation}
�������������, ����� ������� $f\in V^*$ ����������� �� ����� ������,
\begin{equation}
\label{fi}
f = f_i\,e^i\,, \ \ \ \ \ \ \ f_i = \ <\!f,\mathbf e_i\!>\,,
\end{equation}
���������
\begin{equation}
\label{fx}
<\!f,\mathbf x\!> \ = \ <\!f,x^i\mathbf{e}_i\!> \ = \
x^i\!<\!f,\mathbf e_i\!> \ = \ f_i\,x^i \ = \ f_i<\!e^i,\mathbf x\!> \
 = \ <\!f_i\,e^i,\mathbf x\!>\,.
\end{equation}
������� $f$ ���������� ��������������� ������� ����� $f_i$ ���������� ����,
��� ������ ���������� ��������������� ������ ������������. �������, ��� �����
�������� ��������� $f_i\,x^i$ �������� ������� $f$ �� ������� $\mathbf x$
������� �� ����������� $x^i$ � \emph{�� ��������} ��������� �����, � �������
�� �������� ������� ���� $f(x)=ax+b$\,, � �������� �� ����� ���� �
�������������� �������.

������������ $V$ � $V^*$ ����� ������ ���� �� �����: �� ����������� �����, �
������������� ������ ��� ������� �������, $(V^*)^*=V$. ������, ��� �������� �
��������� ������������ �� �������� ������ ������� �������� � ��������.
�����������, ��� ����� ���� ������ ���������. ���� ����� �� �������� �
���������� ����� �������, � ���� ��������� ��������������� �������, ���������
��������� ��������, ������ �� ��������� ��������. �������, ��� �� ���
��������, ����� ���������� �������, ��������� ������, � ������� -- ��������,
�����:
\begin{equation}
\label{br1}
\mathbf e_i \ = \ |i\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \
\mathbf x \ = \ |x\!>\,, \ \ \ \ \ \ \ \
e^i \ = \ \ <i\,|\,, \ \ \ \ \ \ \ \
f \ = \ \ <\!f\,|\,.
\end{equation}
����� ������ (���������) �������� ������� �� ������� ����� �� ����������,
\begin{equation}
\label{br2}
<\!f,\mathbf x\!> \ \ = \ \ <\!f\,|\,x\!> \ \ \ \ \Longrightarrow
\ \ \ \ x^i \ = \ <\!i\,|\,x\!>\,, \ \ \ \ f_i \ = \ <\!f\,|\,i\!>\,,
\ \ \ \ <\!j\,|\,i\!> \ = \ \delta^j_i\,.
\end{equation}
���������� ������ ����������� $\mathbf x=x^i\mathbf e_i$ � ����
$|x\!>=|i\!><\!i\,|\,x\!>$, ������� ������� �������� ����������� � ��������
������ (���������� � ������������ �� �������������� ������� �����������)\,.
��������� ������ $|x\!>$ ����������, �� �������� ����������� ���������
(����� ����������� � � ������� ������, ����������� ������)
\begin{equation}
\label{id}
\mathbb{I} \ = \ |i\!><i\,| \ = \ \mathbf e_i\,e^i\,,
\end{equation}
���������� \textit{������������ �������} ��� \textit{����������� �������}\,.
����� �������� � ���, ��� ��� ��������� ���������� ��������� � ����� �����
����������, ����� ������������ � ������ ��� �� \textit{�������} ������ ��������
�������� ������� �������� ����������� (�.\,�. �� \textit{����} ���������
������� $i$\,, � �� �� �����-�� �� �����)\,.

��� ����������� ������� ���������� ����� �������������� ���������: �������� ��
������ �� ������� $<\!f\,|$\,, �� ���������� ������������� ������ ���������
� (\ref{fi})\,, ������� �� ��� � $<\!f\,|\,x\!>$ ����� \,$<\!f\,|$ \,�
$|\,x\!>$ \,������ ����������� (\ref{fx})\,:
\begin{equation}
\label{3.1}
<\!f\,| \ = \ <\!f\,|\,i\!>\,<i\,|\,, \ \ \ \ \ \ \ \
<\!f\,|\,x\!> \ = \ <\!f\,|i\!>\,<i\,|\,x\!>\ .
\end{equation}
���������� ��� �������� ����������. �� ������ ���������� �������� $A_i^j$
(��� $j$-� ���������� ������� $A\mathbf e_i$) �����:
\begin{equation}
\label{br3}
A_i^j \ = \ \,<\!j\,|A|\,i\!>\,, \ \ \ \ \
A|\,i\!> \ = \ |j\!>\,<j\,|A|\,i\!>\,, \ \ \ \ \
<\!j\,|A|\,x\!> \ = \ <\!j\,|A|i\!>\,<i\,|\,x\!>\,,
\end{equation}
������������ ��� ��������� (\ref{2})\,. �������, ��������� ����������
(\ref{id}) �, ������������, ��� ���������� �������� ����������� ���������
\begin{equation}
\label{Aop}
A \ = \ |j\!><\!j\,|A|i\!><i\,| \ = \ A_i^j\,\mathbf e_j\,e^i\,,
\end{equation}
����������� � (\ref{id}) ��� $A=\mathbb{I}$\,. ����� ��������������,
��� � ��������� ������������ ������ �������
�������� ��� ����������� ��������� ����������� �������.

\vspace{.2cm}

������ ����� �������� ��������, ���������� ��� � ���������� ����� -- �
��������������� ������ ������. ����������� � ����������� �������� ��������
������������� �������� $\mathbf{\tilde e}_i$ ������ ������ ��������
����������� ������� �������� �� ������� ������ � ������ (��������� �� $T$)\,,
������������ ���������� $\det T\neq0$\,:
\begin{equation}
\label{T}
\mathbf{\tilde e}_i = T \mathbf e_i = T_i^j \mathbf e_j\,, \ \ \ \ \
\exists\,T^{-1}: \ T^{-1} T = T\,T^{-1} = \mathbb{I}\,, \ \ \
(T^{-1})_k^j\,T_i^k = T_k^j (T^{-1})_i^k = \delta^j_i\,.
\end{equation}
���� ����, ����� �������� � �������� ��������������:
$\mathbf e_i=(T^{-1})_i^j\,\mathbf{\tilde e}_j$\,. ������ ������ ����������
������� $\mathbf{x}$ � ����� ������. ������� �� ����, ��� ��� �������� �
������� ������ ��� ������ $\mathbf{x}$ �� ��������, ���������� ���� ���
����������:
\begin{equation}
\label{nxi}
\mathbf x = x^j \mathbf e_j = {\tilde x}^i\,\mathbf{\tilde e}_i
 = {\tilde x}^i\,T_i^j \mathbf e_j \ \ \ \Longrightarrow \ \ \
x^j = \,T_i^j\,{\tilde x}^i \ \ \ \Longrightarrow \ \ \
 {\tilde x}^i = (T^{-1})_j^i\,x^j\,.
\end{equation}
������� ��������� ������������ ���� �������������,
\begin{gather}
\label{dualb}
<\!\tilde{e}^i,\mathbf{x}\!> \ = \ \tilde{x}^i \ = \ (T^{-1})_j^i\,x^j \
 = \ (T^{-1})_j^i<\!e^j,\mathbf{x}\!> \ \ \ \Longrightarrow \ \ \
{\tilde e}^i \ = \ (T^{-1})_j^i\,e^j\,, \\
\label{3.2}
\tilde{f}_i \ = \ \,<\!f,\mathbf{\tilde e}_i\!> \
 = \ T_i^j<\!f,\mathbf e_j\!> \ = \ T_i^j\,f_j\ .
\end{gather}
����������, ��������� (\ref{2}) � (\ref{T})\,, ������� ������� ��������������
��������� ��������� ���������:
\begin{equation}
\label{Ab}
A \mathbf{\tilde e}_i \ = \ {\tilde A}_i^j\,\mathbf{\tilde e}_j
\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
{\tilde A}_i^j \ = \ T^m_i\,(T^{-1})^j_k\,A^k_m\,.
\end{equation}

����������� (\ref{T})--(\ref{Ab}) ������������� ���������� ��������������:
��� ������ ������ �������� � ������� ��������� ������������� �������� $T$, � �
�������� -- �������� $T^{-1}$. �����������, ��� ������� ��������� � ���
�������� � ����� ������ �������� -- ��� ��� ���������� \textit{��������}\,.
����� ������������ ������� ������ ������� �������, ���������� ������� ���
����������� ������� ���������� ����� �������� ����������� �� ������
������������. ����� � ��� ���� ��� ������������ $V$ � $W$ � ��������
$\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_N\}$ �
$\{\mathbf e'_1,\ldots,\mathbf e'_M\}$ ��������������.
����� �� \textit{������ ������} \,$V\oplus W$ ���������� ��������
������������ � �������
$\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_N,\mathbf e'_1,\ldots,\mathbf e'_M\}$\,,
� �� \textit{��������� �������������} \,$V\otimes W$ -- ������������ � �������
$\{\mathbf e_i\,\mathbf e'_j\}$\,, �������������� �� ������������
������������� ��� ��������� ���� �������. ���������
$\mathbf e_i\,\mathbf e'_j$ (������ ����� $\mathbf e_i\otimes\mathbf e'_j$)
���� ������������ ������ ��� ����������� ������ �� �������� ������ ������,
� �� ��� ������������ $\mathbf e_i$ �� $\mathbf e'_j$\,. ��������, �����������
$V\oplus W$ ����� �����
������������ �������� ����������� $N+M$\,, � ����������� $V\otimes W$ -- ��
������������ $NM$\,. �������������� ����� ������ ����� ������ ����: ������
������ ���� �������������� ������ ����� ���������� ����� ��� ���������,
� �.\,�. � ���������� ������������ ����� ���������� ������, ������, ���.

� ������� ������, \textit{��������} ����� ������� ������ ������ ���������
������������, � ��� ����� ���������� ������������ ���� ��� ����������
������������. ��� ����� ������������ ����� ����� ����� �����������,
���������� ���� ��������� ������������ $V$ � $V^*$ (��������, �� ���������
����������� �������)\,. ����������, ��������, ��������� ������� $D$
������������ $V\otimes V\otimes V^*$. ��� ��� ���������� �� ����������������
������ ���������� ������ (\ref{Aop})\,:
\begin{equation}
\label{VVV*}
D \ = \ D_k^{ij}\ \mathbf e_i\,\mathbf e'_j\,e^k
\end{equation}
(����� ��������� ��� ���������� ������� ���� ����� ������������ $V$)\,.
����� $D_k^{ij}$, ��� ��������� ������� ������������ ��� �������, ������������
����� ���������� ������� $D$\,. ����� �� �������������� ��� �������� � ������
������ ��������� �� ��� �� ���������, ��� � (\ref{nxi})\,,
\begin{equation}
\label{nD}
D = {\tilde D}_k^{ij}\,\mathbf{\tilde e}_i\,\mathbf{\tilde e}'_j
\,{\tilde e}^k = {\tilde D}_k^{ij}\,T_i^m\,T_j^n\,(T^{-1})^k_l\,
\mathbf e_m\,\mathbf e'_n\,e^l \ \ \ \Longrightarrow \ \ \
{\tilde D}_k^{ij} = T_k^l\,(T^{-1})^i_m\,(T^{-1})^j_n\,D_l^{mn},
\end{equation}
� ������������ ���������������� ���� ������� � ���� ������ $T$ � $T^{-1}$ �
��������������� ������ � ������� ��������. ����� ������ ��� ������� � ������ �
������ ����������� (���������) �������, ������ ��� ����� ����� ��������
������� � ���������, ��������������� ��� ����� ������ �� ������� (\ref{nD})\,.
������ ����� ������� ������ � ���������� ���������, ���������� ��� ���
���������, ������������� ���: ������ ������ ������������ ����������� � �����
��������� ����� ��� ���� -- ���� ��� ������ � ���� �����.

��� ��������� ��� ��������� �������� �������� ������� (�������� $V$)\,,
�������� ������� �� $V$ (�������� $V^*$)\,, �������� ��������� � $V$ (�����
(\ref{Aop}) �� ����� ���������������� ��� �������� $V\otimes V^*$)\,, � �����
\textit{�������} -- �������� �������� ��� �������� (�������� �����������
������������ �����)\,, ������� ������ �� ������������� ��� ������ ������.
������� ��������, ��� ��� ������, �� �������� ������� ������������,
���������� ������ �� ��������� � ��������������� ���� (\ref{nD}), ���
��������������� ������� $T$ � $T^{-1}$ ������������ ���� �����. �������,
��������, ���� ������� ��������� ��������� �������� ��������:
\begin{equation}
\label{Aii}
{\tilde A}^i_i \ = \ T_i^j\,(T^{-1})^i_k\,A^k_j \
 = \ \delta^j_k\,A^k_j \ = \ A^i_i\,.
\end{equation}

\vspace{.2cm}

�� ��������, ��� � ������� ������������� ���������� ��������� ��������� $T$
�������������� ������� � ������ ������. ������ ������ �������� (��� �
����������, ��� � � ������)\,, ����� ��� ��������� �� ����� ���������, �
������ ��������� ����������� �������� ��������������. �������� ��������
����������� ���������� ������������ �������� (��������, ����������)\,: \
$\mathbf x\mathbf p=x^1p^1+x^2p^2+x^3p^3=x^ip^i$. � ����� ����� ������ ��� ��
������: ��� ������� $i$ ����� �������, ��� ��������, � ������� ��
(\ref{Aii})\,, ��������� ���� ������ $T^{-1}$ � ������� �������������� �
������� ������, � ��� ��������� -- ���������������� ������� �������. ��������
��������� ���, ��� �� �������� ���� �� �������: ������������ ������ ������� ��
\emph{��������} � \emph{�������} ��������. ������������� ���������� ���������
��� ���������� ������������ ����� �� ���
\begin{equation}
\label{scal}
\mathbf x\mathbf p \ = \ g_{ij}\ x^i\,p^j\,.
\end{equation}
��������� ����� \textit{����������� ������} $g_{ij}$ ������ �����������������
�� ����� ������� (����� ��������� $T$), ��� � ��������� ��������������
����� ���������. �������� ������� ��� ���������� ������������ ���������������,
���� ������������� $g_{ij}=\delta_{ij}=\delta^i_j$\,.
����: ���� ��������� \textit{����� ���������} �������������� $T$ (���,
��������, � ������ \textit{����������})\,, ��
������������ (�����������) ��������� (\ref{scal}) �������������� ��� ��� ���,
��� ����������� ������ ��� ���� ��������������� \textit{����������}\,; ���� ��
������������� ��� � ���� $\delta$-������� (\ref{delta})\,, ��� ����� ��������
����������, �� ����� (��������) ��������� ������������ ����� ������������ ��
��� ������������ ��������������� ������, � ������ ��� ��������� �����������.

� �������, ��� ����� ������: ����� ����������� ������, ������ ������
$\delta_{ij}$\,, �������� ����� �� � ����� ��������������. ������� �������,
���� ����������� �� ������� $T$ ����������� ���������� ���������:
\begin{equation}
\label{3.3}
{\tilde\delta}_{ij} \ = \ T_i^m\,T_j^n\,\delta_{mn} \
 = \ T_i^m\,T_j^m \ = \ \delta_{ij} \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \
(T^t)_m^i\,T_j^m \ = \ \delta_j^i\ .
\end{equation}
��� ��������, ��� ����������������� ������� $T^t$ ��������� � ��������,
$T^{-1}$\,:
\begin{equation}
\label{ort}
(T^{-1})^i_j \ = \ (T^t)_j^i \ = \ T^j_i\,, \ \ \ \ \ \ \ \
T\,T^t \ = \ \mathbb{I}\,.
\end{equation}
������� � ����� ��������� ���������� \textit{��������������}\,; ��� ��������
��������� ������ (��������� ������� ���������)\,. ����, ���������
������������, ���������� � �������� ����� (��� ������������ �������)\,,
��������� ���� �������� ��� ���������, �� ��������, ��������, ��� �����������
� ������ ������ ���������������.

��� ���������� ������� (\ref{ort}) �������� � �������� � ������� ���������,
��� ����� ������, ������������� ��������� (����� � ��� �� ��������)\,:
\begin{equation}
\label{3.4}
\tilde{x}^i \ = \ (T^{-1})^i_j\,x^j \ = \ T^j_i\,x^j\,, \ \ \ \ \ \ \
\tilde{f}_i \ = \ T^j_i\,f_j\,.
\end{equation}
������, ���� ������������ ������ �������������� ����������������, �� �����
������ �� ��������� ������� � ������ �������, ������, ��������, $x_i$ � $x^i$
����������� �����������. �����, � ���������, ������������ ������ ��� �������
������ �����. � ����� ������ ($T^t\neq T^{-1}$) ������������ �������� � ������
���������� ��������, �������, ������ (��� ������������� ��-�������)\,, ��
����� \emph{�������} �� ���� � ������ � ������� ������������ �������,
����������, ��������, ����������� ������� $x^i$ ����� ������ � ����� ������
�������� \ $x_i=g_{ij}x^j$ (��� $g_{ij}=\delta_{ij}$ ���� �� ������
$x_i=x^i$)\,. �� ����� �������������� ����� ��� ��� ����� �������� ���: ���� �
������������ $V$ ������ ��������� ������������ (\ref{scal})\,, �� �����
������� $f\in V^*$ ����� ���������� ����������� ������ $\mathbf f\in V$ ���,
��� $<\!f,\mathbf x\!>\,=\mathbf f\mathbf x$ ��� ������ ������� $\mathbf x\in
V$. ��� �����, ����������� � �������� ������������ $V^*$ ��� �� ��������:
����� �������� ������� $f$ ����� ����������� ��� ��������� ������������ �
�������� ������������ $V$, �������� ���������� ������ $\mathbf f$\,. �����
������� ����� ��, ����������, ��� �����: $f_i=g_{ij}f^j$. � ���������, ���
$g_{ij}=\delta_{ij}$ ���������� $f_i$ ������� $f$ � ���������� $f^i$ �������
$\mathbf f$ ���������� ������ �����������.

\vspace{.2cm}

������������� ������ ��������, ����� ������������� ��������������
������������ ����, ������� � ������ ��� �������������, ����� ����������������
���������� �����, ������������� ������ ��������������� ���������, ���
\textit{��������������} ������. ������ � ��������������� ��������
\textit{������������ �����������}, �������� � �� ������. ���
������������� ������������ �������� ������������; ������� � ��� �������
���������� ���������� �������, ������������ �������� 0,\,1,\,2,\,3. ���
���������� ��������� ������������ �������� ����������� ������
\begin{equation}
\label{gmn}
g_{\mu\nu} \ = \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}\ ,
\end{equation}
������� ����������� $(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu})$ � ���������� ��
$\delta$-������� ���� ������� ��������� ���������:
$g_{00}=1,\ g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$\,. �� ���������� ������������ ������
����� ��������������, ������� �� ������ ���� ����� �������. ��� ���� ��� �����
������������� (� ��������� �� �����) ������� � ������ �������:
\begin{equation}
\label{ident}
x_\mu \ = \ g_{\mu\nu}x^\nu \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \
x_0 \ = \ x^0\,, \ \ \ \ x_1 \ = \ -x^1\,, \ \ \ \
x_2 \ = \ -x^2\,, \ \ \ \ x_3 \ = \ -x^3\,.
\end{equation}
� ����������� ���� �������������� ��������� ���������� ������ � ����� �����, �
����� ������ �������� (������� � ������) � �������� �������� (\ref{ident})\,.
�� �� ���������� ������ ���������� �� ������� �������� � ������������ ������
������,
\begin{equation}
\label{3.5}
x_\mu \ = \ (x_0,\,x_1,\,x_2,\,x_3) \ = \ (x_0,\,\vec{x})
\end{equation}
(�������� ��������� ������ �������� ����������� ������������; ������� ������
�������� ��������������� ���������)\,. ��� ����������� ����� ������ ���
�������� ��������� ������� �������������� ����������� ��������� ������������:
\begin{equation}
\label{scalM}
xp \,\equiv \,x_\mu p_\mu \,\doteq \,x_0 p_0 - x_1 p_1 - x_2 p_2 - x_3 p_3 \,
 = \,x_0 p_0 - \vec{x}\vec{p}\,, \ \ \ \ x^2 \equiv \,x_\mu x_\mu \,
 = \,x_0^2 - \vec{x}\vec{x}\,.
\end{equation}
����� ���������� (������ ������� ��������� ���� ����� � ������, � ��������� --
� �������) ����������� ��� \emph{������} ������������ �� �������������
��������. ��� ���������, �������� ����� ����������� ��� ������ � �����������
��������:
\begin{equation}
\label{3.6}
g_{\mu\nu}x_\nu \ = \ g_{\nu\mu}x_\nu \ = \ x_\mu\,, \ \ \ \ \
xp \ = \ g_{\mu\nu} x_\mu p_\nu\,, \ \ \ \ \
g_{\mu\mu} \ = \ g_{00} - g_{11} - g_{22} - g_{33} \ = \ 4\,.
\end{equation}
�� �����, ��� ������ $g_{\mu\nu}$ �� ������ ��������� ��������� ������������,
�� � ��������� � ������������ ����������� ���� $\delta$-�������. � ���� �����
��� ����� ��� ������ �����������
$\partial_i x^j\equiv\partial x^j/\partial x^i=\delta_i^j$\,, ���� ����
�������� ��� ���� �������: ���������� ������ ����������� $\partial_\mu$ ��
�� ������ ������� (\ref{3.5})\,, � �� ������ ������,
\begin{equation}
\label{dm}
\frac{\partial}{\partial x_\mu} \,\equiv \,\partial_\mu \,\doteq \,
(\partial_0, -\partial_1, -\partial_2, -\partial_3) \,
 = \ (\partial_0\,, -\vec{\partial}) \ = \
(\frac{\partial}{\partial x_0}\,, -\frac{\partial}{\partial x_1}
\,, -\frac{\partial}{\partial x_2}\,, -\frac{\partial}{\partial x_3})\,.
\end{equation}
��� ���������� ����� ������� � ������� ������� �����������������,
\begin{equation}
\label{3.7}
\partial_\mu x_\nu \ = \ g_{\mu\nu}\ , \ \ \ \ \
\partial_\mu\,(xp) \ = \ p_\mu\ , \ \ \ \ \
\partial_\mu\,x^2 \ = \ 2\,x_\mu \ ,
\end{equation}
�������������, ����� ����� �������, �������������� �������� ����
$\partial_1 x_1=1$\,.

� ������������ ����������� �� ����� ������������� ������ ��������������
���������� ���� (\textit{�������������� �������})\,:
\begin{equation}
\label{Lor}
x'_\mu \ = \ \Lambda_{\mu\nu}\,x_\nu\,, \ \ \ \ \ \ \
x_\mu \ = \ \Lambda_{\nu\mu}\,x'_\nu\,, \ \ \ \ \ \ \
\Lambda_{\alpha\mu}\Lambda_{\alpha\nu} \
 = \ \Lambda_{\mu\alpha}\Lambda_{\nu\alpha} \ = \ g_{\mu\nu}
\end{equation}
(������ ������ ������ ���������� �����). ����������� (\ref{Lor}) �� �������
$\Lambda$ ������ ����, ����������� ������� ���������������
(\ref{3.3}),(\ref{ort})\,: ��� ������������ �������������� ���������
������������ � ������ ������� $g_{\mu\nu}$\,,
\begin{equation}
\label{invsc}
x'p' \ = \ x'_\mu p'_\mu \
 = \ \Lambda_{\mu\alpha}\,\Lambda_{\mu\beta}\,x_\alpha p_\beta \
= \ g_{\alpha\beta}\,x_\alpha p_\beta \ = \ xp\,,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{invg}
g'_{\mu\nu} \ = \ \Lambda_{\mu\alpha}\,\Lambda_{\nu\beta}\,g_{\alpha\beta} \
= \ \Lambda_{\mu\alpha}\Lambda_{\nu\alpha} \ = \ g_{\mu\nu}\,.
\end{equation}
�� (\ref{Lor}) � (\ref{3.7}) ������� ����� ������ �������������� �����������
$(\partial'_\mu\equiv\partial/\partial x'_\mu)$\,:
\begin{equation}
\label{3.8}
x_\nu \ = \ \Lambda_{\mu\nu}\,x'_\mu \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
\partial_\mu{}\!'\,x_\nu \
 = \ \Lambda_{\mu\nu} \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
 \partial_\mu{}\!' \ = \ \Lambda_{\mu\nu}\,\partial_\nu\ .
\end{equation}

�������� � ���������� ������ ���������������. �� ����, ��� �� ���� ������
�����-�� ���������� ���������� �������, � ������ ����� ������� ����������
������. ������������� � ���� ��������� ������ ������� ��������
\textit{���������������}\,. � ���������, �� ������������ (���������), ��
��������� �������� � ������� �� ���������, � ��������������� ��������� �
��������� ������ ���� -- ���������. �������� ������ ��������������� ���������
������� �������� �������, ������������� �� ���������������� ���������� ������
����������� ���, ��� ��� ���������, ����� �� ��������� �� ��������� �����, ���
������������ ���������� ������� ��������.

�������� �������������� �������� ����� �������������� ���: ���������� ��������
�������� ��������� �������������� ������������ ����������� (���������,
���������, ���� ��������� ������ ������)\,; ���������� �������������� ������
����� ������������ (�������������� �������) ��������� ������������� ��������
� ������ \textit{������������} ������� �������, ���������� ����������
������������ ��������; ������ ������ ����� \textit{�������������
������������} ��� (�������������� ������ ��������� ���������� ���������
���������, ������� ��������� �� � �������������) � ������� �����������
���������� �� ������� �������.

����� ���������� ������ ������� � ���, ����� ������ �������� ������� ��������
� ������ ���� ��� ����� ������� ��� �������; �� �������� ������ �� �����.
�������� �������� ��� �������� ������������� ������, ������� ������������
�����������. ������ � ����� ������������ �������� ������������, � ����, �
�������� ���������� � ������� ��������, ���������� �����, ����������� ��
�������� �����:
\begin{equation}
\label{sp-t}
x_\mu \ = \ (ct, \ x, \ y, \ z)\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
x'_\mu \ = \ \Lambda_{\mu\nu}\,x_\nu\,.
\end{equation}
������ ����� �������� ������ ���������� ���������. ��-������, ��� �������� �
������ ������� ������� ������������� �� ������ ���������������� ����������, ��
� �����. �� ��������� ���������, ��� �� ���� �������� ����� ����� ���������.
��-������, ��������� ������� ������� $x_\mu$ �� ������� �� ������� �������:
\begin{equation}
\label{invx}
x'_\mu x'_\mu \ = \
c^2(t')^2 -(x')^2-(y')^2-(z')^2 \ = \ x_\mu x_\mu \
 = \ c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \ = \ c^2 \tau^2\,.
\end{equation}
�������� $\tau$ ���������� \textit{����������� ��������}\,:
�������������, ���� �� �������� ���������� ���������� ������� �����������
������� ���������, �������� ������� � �� ������, �� ������ �����
$x'=y'=z'=0$\,, � $t'$ �������� � $\tau$. �� (\ref{invx}) �����, ���
$\tau\leqslant t$\ -- ��� ������, ��� � ����������� ������� ����� �����
��������� �����.

����� ����������� �������������� ������� ��������� ��������������
\textit{�����\-�������-�������} � ����� ����� �����. ��� �������� �����
������� ���������� $y$ � $z$ �����������, � ���������������� -- ������ $t$ �
$x$ (�������� ����� ��� $x$). ����� ������� ����������� (\ref{invx}) (���
������� (\ref{Lor}) �� ������� ������� $\Lambda$) �������� �������������������
��������� ���������� ����:
\begin{equation}
\label{Ltr}
c\,t' = \frac{c\,t-xv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\,, \ \ \ \ \ \ \ \
x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\ .
\end{equation}
�������� $v$ ���� �������� �������������� �������� ������ � ����� ������
�������, ��� ���������� ����� ������ ������� ����� ������� �������� $x'=0$\,,
���� � ������ ������������� $x/t=v$. ���� ��������� $v/c$ ���\'�, ��
�������������� ������� ��������� � ���������������� \textit{��������������
�������} ������������ ��������,
\begin{equation}
\label{Gal}
t' \ \approx \ t\,, \ \ \ \ \ \ \ x' \ \approx \ x - vt\,,
\end{equation}
��� ����� ��������� (����� �� ���� �������� �������)\,. ����� �������,
�������������� ������� ������� ���������� �� ������������ ���� ��� �������
���������. � �� �� �����, ��� $v>c$ ����������� (\ref{Ltr}) ������ �����,
��� ���������������� ��� �������������� ������������� �������� ��
������������� ���������. ������ ������� �������� ����� � �� ���� ��������
��������� (��������, �������� � �������� ������� $u=x/t$ �������� �������
������� $v$)\,. �������������, ��������
\begin{equation}
\label{3.9}
\frac{u'}{c} \ = \
\frac{x'}{c\,t'} \ = \ \frac{x-vt}{c\,t-xv/c} \
 = \ \frac{u/c-v/c}{1-uv/c^2}\,,
\end{equation}
��� �������� ��������, �� ������ �� ����������� �������, ����
$|v|<c\,,\ |u|<c$\,.

������ ��������� ������������� �������� �������� ������
\textit{�������-��������}
\begin{equation}
\label{imp}
p_\mu \ = \ (\,E/c, \ \vec{p}\,)\,,
\end{equation}
������������ �� ������� (�������� �� �������� �����) � �������� �����������
��������. ������ $p_\mu$\,, ��� � ����� ������, ������������� � ����� �������
������� �� ������ ������� (\ref{sp-t}),\, (\ref{Ltr})\,, ������� ��� ������
���������. ������ ����� �������� �����
��������� ��� �������-�������� ������������ ����� (�������) ����� $m$\,:
\begin{equation}
\label{impt}
p_\mu \ = \ \frac{m}{\tau}\,x_\mu \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \
\frac{E^2}{c^2} - \vec p\,{}^2 \ = \ p^2 \ \equiv \ p_\mu p_\mu \
= \ \frac{m^2}{\tau^2}\,x_\mu x_\mu \ = \ m^2 c^2\,.
\end{equation}
��� �������, ���������� �� ��������� $\vec v$, �� (\ref{invx})
������� $\tau^2=t^2(1-v^2/c^2)$ �
\begin{gather}
\label{Ep}
E \ = \ \frac{m}{\tau}\,c^2 t \ = \ \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \
 = \ mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \mathcal{O}(v^4/c^2)\,, \\
\vec p \ = \ \frac{m}{\tau}\,\vec x \ = \ \frac{m\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \
 = \ m\vec v + \mathcal{O}(v^2/c^2)\,.
\end{gather}
�� �����, ��� � ���������������� ������� ��������������� ������� ������� ���
��������, ����� ��� ��������� ��� $E$\,, ������ ������������ �������,
�������� ��� \textit{������� �����}\,, ������ $mc^2$. ���������� ������
���������� ������� (\ref{Ep})\,. ��� ������� ������� $a$ �� ��� ������,
$a\rightarrow b+c$\,, � ���� ���������� �������, $E_a=E_b+E_c$\,. �
����������� ������� ������� ������� $a$ (�� \textit{������� �����})\,, ���
${\vec p}_a=0$\,, ����� $E_a=m_a c^2, \ E_b>m_b c^2, \ E_c>m_c c^2$. ������,
����� ������ �������� ������ ���� ����� ������������� ������� ������ �����
���� ��������� �������: $m_a>m_b+m_c$\,.

\newpage

\begin{center}
\large ����� 4 \\[.2cm]
\textbf{���������������� ������� � ��������� ���������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

������������ ���������������, ���������� �� ���������� ���������, ������
�������� �������������� ������, ����������� ������� � ������ �����
���������� ������� -- ����������������. ������ ��� ���������� � �� ���������,
������� � ������������ ����������, � ����� � ������������� ����� (��� ������
����� �� �������������� ��������������)\,, �� ������������ � ������ ����������
������������ � ���������������� �������� �, � ���������, $\epsilon$-��������.

������������ �������� �������� ������������� �� ��������� ��� ��������
������������� ��������. ��� ���� ����� ������ ������� ���� ������ �������,
���� ������ ������ ������� (����, �������, �� �� ������ ���������)\,; ��������
��������� ������������ ������������ ������� �������� � ������� ��
���������������. \emph{������������} (�� ��������� ��������) �������� ������,
������� �� �������� ��� ����� ������������ ���� ��������. ������ -- ������
$g_{\mu\nu}$\,. \textit{����������������} (�� ��������� ��������) ����������
������, \emph{�������� ����} ��� ������������ ����� ���� �� ���� ��������,
��������, $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$\,. \emph{��������� ����������������} ������
������ ������ ���� ��� ������������ \emph{����� ����} ��������.
�����, ��� ��� ������ ������ �������� (����)��������� �����������, ��������:
\begin{equation}
\label{antis}
{\tilde F}_{\mu\nu} \
 = \ \Lambda_{\mu\alpha}\,\Lambda_{\nu\beta}\,F_{\alpha\beta} \
 = \ -\Lambda_{\nu\beta}\,\Lambda_{\mu\alpha}\,F_{\beta\alpha} \
 = \ -{\tilde F}_{\nu\mu}
\end{equation}
(���������� ��� ������������ ��������). ������������ ����������������� �������
� ������������ �� ��������������� �������� ������ ���� ����, ��������,
\begin{equation}
\label{a-s}
F_{\mu\nu}\,a_\mu a_\nu \
 = \ \frac{1}{2}\,F_{\mu\nu}(a_\mu a_\nu + a_\nu a_\mu) \
 = \ \frac{1}{2}\,(F_{\mu\nu} a_\mu a_\nu - F_{\nu\mu} a_\nu a_\mu) \ = \ 0\,.
\end{equation}
����� ������ � ����� ��������� (�������� ���� �������) ���������� �����������
�� ����� ������������� (������ ������) � ����������������� (������)\,:
\begin{equation}
\label{4.1}
T_{ij} \ = \ \frac{1}{2}\,(T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2}\,(T_{ij} - T_{ji})\,.
\end{equation}

����, ��� � ����������������� ������� ������ ��������� ���� � ������ �� ���
��������� -- ��� ��, ������� �������� ���������� ��������� ���� �� ����
�������� ($F_{11}=0$ � �.\,�.)\,. ������� ��������� ����������������� �������
� ������ ��������, ������������� ����������� ������������, ������������ ��
����� -- ��� ��� ���������� ����� ����. ��������� ������, ����� ����� ��������
������ ������� \textit{�����} ����������� ������������: ����� ����������
������������ � ���� �������� ���� ��, � ������� �������� ���� ��������
��������, � ��� ��� ��� ���� ����� ��������� \textit{���} ��������� ��
��������, �� ��� ��������� ���������� ����� ����� ���� ����� � ��������� ��
�����, � ���� ������ �������� ���������� � ������ �����. � ���� � ������� ����
$\epsilon$-�������. ������� ��� �������������� ���������� ������������, �
����� ������ ������������ ������ ������� ���������. ����� $\epsilon_{ijk}$ --
��� ��������� ���������������� ������, ���������� ������������ ��������
�������� \ $\epsilon_{123} = \epsilon_{231} = \epsilon_{312} = 1\,,
\ \ \epsilon_{213} = \epsilon_{132} = \epsilon_{321} = -1$\,.
������ ���������, � ������ ������� ������������� ������������, ������������
�������� �������
\begin{equation}
\label{eps3a}
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ijk} \ = \ 6\,, \ \ \ \ \
\epsilon_{imn}\,\epsilon_{jmn} \ = \ 2\,\delta_{ij}\ , \ \ \ \ \
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{mnk} \
 = \ \delta_{im}\,\delta_{jn} - \delta_{in}\,\delta_{jm}\ ,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eps3b}
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{lmn} \ = \ \det
\begin{pmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{pmatrix}\,,
\end{equation}
����������� ������ ���������� �� $\epsilon$\,, ���� �� ����������� ���
� ������������. ������� ���� �����������, ����������� ����������� �������
$3\times3$ \ � \,$\epsilon$-��������:
\begin{gather}
\label{eps3c}
\det M \ = \ \epsilon_{ijk}\,M_{1i}\,M_{2j}\,M_{3k} \
= \ \epsilon_{ijk}\,M_{i1}\,M_{j2}\,M_{k3} \
= \ \frac{1}{6}\ \epsilon_{ijk}\,\epsilon_{lmn}\,M_{il}\,M_{jm}\,M_{kn}\,, \\
\label{eps3d}
\epsilon_{ijk}\,\det M \ = \ \epsilon_{lmn}\,M_{il}\,M_{jm}\,M_{kn} \
= \ \epsilon_{lmn}\,M_{li}\,M_{mj}\,M_{nk}\,.
\end{gather}
������ ��� ��������� � (\ref{eps3c}) ��������� � ������������ ������������,
� ����������� (\ref{eps3d}) �������� � ��� ��� $i=1, j=2, k=3$ (���������
����������� �������������)\,. ������ ��������� � (\ref{eps3c}) ��������� ��
(\ref{eps3d}) � ������ ������� (\ref{eps3a})\,. � ������� (\ref{eps3d}) �
(\ref{eps3c}) ������ �������� ������������ ������ ��������� ���������
\begin{multline}
\label{4.2}
\det (MN) \ = \ \epsilon_{ijk}\,(MN)_{i1}\,(MN)_{j2}\,(MN)_{k3} \
 = \ \epsilon_{ijk}\,M_{il}\,N_{l1}\,M_{jm}\,N_{m2}\,M_{kn}\,N_{n3} \\
 = \ \det M\ \epsilon_{lmn}\,N_{l1}\,N_{m2}\,N_{n3} \ = \ \det M\,\det N\,.
\end{multline}
�������, ������� (\ref{eps3c}) ��������� �������� ��������� ������������
����� $\epsilon$-������,
\begin{equation}
\label{vecpr}
\vec a\times\vec b \ = \ \det
\begin{pmatrix} {\mathbf e}_1 & {\mathbf e}_2 & {\mathbf e}_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3  \end{pmatrix} \ \ \ \ \
\Longrightarrow \ \ \ \ \
(\vec a\times\vec b)_i \ = \ \epsilon_{ijk}\,a_j\,b_k\,,
\end{equation}
� ������� (\ref{eps3d}) ���������, ������ �� �������� ��������
$\epsilon$-������ �������� -- ��� ����� �������������� ���������� ��
���������� �� ������ $\det M$\,, ������� ����� �� ��������� ������� ���� ���
������������� ������ (��� ��� $\det M=\pm1$)\,.

�������� � ���������� ��������� � ���������� ������, ������ ������� ���
�������� �������� ���������� ������� -- ��������, ����� � �����������.
\textit{����������} \ $\text{grad}\,\varphi\equiv\vec{\partial}\varphi$ \
��������� ������� $\varphi(x)$ ���������� ������, ������������ �� �� �������
����������� �� ���� ���� �����������,
\begin{equation}
\label{grad}
(\vec{\partial}\varphi)_i \ = \ \partial_i\varphi \ \equiv \
\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\vec{\partial}\varphi \
= \ (\partial_1\varphi, \ \partial_2\varphi, \ \partial_3\varphi)\,.
\end{equation}
\textit{������������} ��������� ������� $\vec A(x)$ ���������� ���������
������� �� $x$\,, ������������ ��� \textit{��������� ������������}
$\vec{\partial}$ �� $\vec A$\,:
\begin{equation}
\label{div}
\text{div}\,\vec A \ = \ \vec{\partial}\vec A \ = \ \partial_i A_i \
= \ \partial_1 A_1 + \partial_2 A_2 + \partial_3 A_3\,.
\end{equation}
\textit{�������} ��������� ������� $\vec A(x)$ ���������� ���������
������� �� $x$\,, ������������ ��� \textit{��������� ������������} \,
$\vec{\partial}\times\!\vec A$\,:
\begin{equation}
\label{rot}
(\text{rot}\,\vec A)_i \ = \ \epsilon_{ijk}\,\partial_j\,A_k\,, \ \ \ \ \
\text{rot}\,\vec A \
= \ (\partial_2 A_3 - \partial_3 A_2, \ \partial_3 A_1 - \partial_1 A_3, \
\partial_1 A_2 - \partial_2 A_1)\,.
\end{equation}
��������� $\epsilon_{ijk}\,\partial_j\,\partial_k=0$\,, ���������� ��
(\ref{a-s}) � ����������������� ������� �����������, ������ �� ����� ������
���������: ����� �� ��������� � ����������� �� ������ ������ ����� ����,
\begin{equation}
\label{rgdr}
(\text{rot}\ \vec{\partial}\varphi)_i \
= \ \epsilon_{ijk}\,\partial_j\,\partial_k\,\varphi \ = \ 0\,, \ \ \ \ \ \
\text{div}\,(\text{rot}\,\vec A) \
= \ \partial_i\,\epsilon_{ijk}\,\partial_j\,A_k \ = 0\,.
\end{equation}

��������� ��������� ������� ��������� �� ��� ����:
\begin{gather}
\label{M1}
\text{rot}\,\vec E \ = \ -\frac{1}{c}\,\frac{\partial \vec H}{\partial t}\,,
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{div}\,\vec H \ = \ 0\,; \\
\label{M2}
\text{rot}\,\vec H \ = \ \frac{1}{c}\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}
 + \frac{4\pi}{c}\,\vec j\,, \ \ \ \ \ \ \ \text{div}\,\vec E\ =\ 4\pi\rho\,.
\end{gather}
����� $\vec E$ -- ������������� ����, $\vec H$ -- ��������� ����, $\rho$ --
��������� �������������� ������, $\vec j=\rho\,\vec v$ -- ��������� ����
(�����\,$\times$\,��������)\,. ���������������� ���������� (\ref{M2}) �
(\ref{rgdr}) �������� \textit{��������� �������������}\,, ����������
���������� ������:
\begin{equation}
\label{conse}
\text{div}\,\vec j \ = \ -\frac{1}{4\pi}\,\partial_t\,\text{div}\vec E \
= \ -\partial_t\rho\,.
\end{equation}
��������� ������ ���� ��������� ��������� (\ref{M1}) ��������� ��������
$\vec E$ � $\vec H$ � �������� ��� ���������� \textit{�����������} --
���������� $\vec A$ � ���������� $\varphi$\,:
\begin{equation}
\label{pot}
\vec E = -\frac{1}{c}\,\partial_t\vec A - {\vec \partial}\varphi \ \ \ \ \
(E_i = -\frac{1}{c}\,\partial_t A_i - \partial_i\varphi)\,, \ \ \ \ \ \vec H
= \text{rot}\,\vec A \ \ \ \ \ (H_i = \epsilon_{ijk}\,\partial_j\,A_k)\,.
\end{equation}
���� $\vec E$ � $\vec H$ � ����� (\ref{pot}) ������������� �������������
���������� (\ref{M1})\,.

\vspace{.2cm}

������ ��������� � \textit{��������������}
������������� ��������� ���������. ��������� ��������� � ��������� ����������
� ���� �������������, � ��������� ������ (����������� �� $c$) � ��������� ����
-- � ������������� ������ ����:
\begin{equation}
\label{4pot}
A_\mu \ = \ (\varphi, \ \vec A)\,, \ \ \ \ \ \ \ \
j_\mu \ = \ (c\rho, \ \vec j)\,.
\end{equation}
���������� �������������� � ���������� ���� ������� � ���������������� ������
\begin{equation}
\label{Fmn}
F_{\mu\nu} \ = \ \begin{pmatrix}
0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & -H_3 & H_2 \\ E_2 & H_3 & 0 & -H_1 \\
E_3 & -H_2 & H_1 & 0 \end{pmatrix}\,.
\end{equation}
����� ��������� ��������� (\ref{M1})\,,\,(\ref{M2}) �����������, ��������������,
�
\begin{equation}
\label{M1a}
\partial_\mu\,F_{\alpha\beta} + \partial_\alpha\,F_{\beta\mu}
 + \partial_\beta\,F_{\mu\alpha} \ = \ 0\,,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{M2a}
\partial_\mu\,F_{\mu\nu} \ = \ \frac{4\pi}{c}\,j_\nu\,,
\end{equation}
� ��������� ������������� (\ref{conse}) �
\begin{equation}
\label{cons4}
\partial_\mu j_\mu \ = \ 0\,.
\end{equation}
����������� (\ref{pot}) ��������� ���
\begin{equation}
\label{pot4}
F_{\mu\nu} \ = \ \partial_\mu\,A_\nu - \partial_\nu\,A_\mu\,,
\end{equation}
��������� ���� ��������� (\ref{M1a}) ���������� � ���������.

�������������� �������������� ����������� (\ref{M1a})--(\ref{cons4}) ��
�������� ��������. �������� ���������, ������������� �� ������� �������������
(\ref{4pot})\,,\,(\ref{Fmn}) ���������� ��������� (\ref{M1})--(\ref{conse}) �
(\ref{M1a})--(\ref{cons4})\,.  �� ����������� (\ref{pot4}) � (\ref{dm})
������� \ $F_{0i}=\partial_0A_i+\partial_iA_0,\ \
F_{ij}=-\partial_iA_j+\partial_jA_i$ (����� � ����� ������, ������������
��������� ������, �������� $i$\,, ��������� �������� 1,\,2,\,3)\,. ��������� �
(\ref{pot}) � ��������� (\ref{eps3a})\,, ���������� � ��������������
������������� (\ref{Fmn})\,:
\begin{equation}
\label{FEH}
E_i = F_{i0} = -F_{0i}\,, \ \ \ \ \
H_k = -\frac{1}{2}\,\epsilon_{kij}\,F_{ij}\,, \ \ \ \ \
F_{ij} = -\epsilon_{ijk}\,H_k\,.
\end{equation}

\newpage

\begin{center}
\large ����� 5 \\[.2cm]
\textbf{$\delta$-������� � ��������� ����}
\end{center}

\vspace{.2cm}

�������� ��������� ��������������� ��� ������ ���� ������� � ����� �����
����� ���������� ����� -- ���� ������������ �������� ���������������
���������������� ���� � �������. � ������ ����� �� ������ ���������������
�������, ������ ������� ����������������� ���� � ������� ��� �� ���������
������.

���������� (\ref{pot4}) � (\ref{M2a}) ��� $j_\mu=0$\,, �������
��������� �� ��������� $A_\mu$\,:
\begin{equation}
\label{EM1}
\partial_\mu\,F_{\mu\nu} \
= \ \partial_\mu\,(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) \
= \ \partial^2 A_\nu - \partial_\nu(\partial_\mu A_\mu) \ = \ 0\,,
\end{equation}
��� $\partial^2=\partial_\mu\partial_\mu$\,.
������������� ������ ��������� \textit{������������� ��������������}
���������������: \textit{������������� ��������������} ����������
$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu\chi$\, � ����� ��������� ��������
$\chi(x)$ �� ������ $F_{\mu\nu}$ ����� ����������� (\ref{pot4})\,,
� ������������� �� ������ � ����� $\vec E$ � $\vec H$\,. � ���� ������
������������� � ��������� ���� ��������� ����������� (������������
������������)\,, � ������� �� ������������� ���������� $A_\mu$\,, ����������
�� ������ ������� $\chi(x)$\,, ���, ��-�������, �� ������
\textit{�������������� �������}\,, ������������ $A_\mu$\,. ���� ��� �������
� ����
\begin{equation}
\label{gauge}
\partial_\mu A_\mu \ = \ \partial_0 A_0 + \partial_i A_i \ = \ 0\,,
\end{equation}
������� �� (\ref{EM1}) ������������
\begin{equation}
\label{EM2}
\partial^2 A_\mu(x) \
= \ \bigl(\,\frac{1}{c^2}\,\partial_t^2
 - \vec \partial\,{}^2\,\bigr)A_\mu(x) \ = \ 0\,.
\end{equation}

����� �������� ����� ��������� ������� ������� ���������,
\begin{equation}
\label{solu}
A_\mu(x) \ = \ a_\mu(\vec p)\,e^{ipx}\,, \ \ \ \ \ \ p^2 = 0\,, \ \ \ \ \ \
p\,a = 0\,.
\end{equation}
������������� ������ $p_\mu$ ���������������� ��� ������ �������-��������
���������������� �����. ��� ����������� $A_\mu$ �� $x$ ��������� � ����������
����������
\begin{equation}
\label{ipx}
ipx = i(p_0x_0-\vec p\,\vec x) = i(Et-\vec p\,\vec x) \ \ \ \ \
\Longrightarrow \ \ \ \ \ \partial_\mu e^{ipx} = i p_\mu e^{ipx}, \ \ \ \
\partial^2 e^{ipx} = -p^2 e^{ipx}.
\end{equation}
������ � ��������� �������
\begin{equation}
\label{p20}
p^2 \ = \ p_0^2 - \vec p\,{}^2 \ = \ \frac{E^2}{c^2} - \vec p\,{}^2 \
= \ 0\,, \ \ \ \ \ \ E \ = \ c\,|\vec p\,|\,,
\end{equation}
���������� $p_0$ ����� ���������� �������. ������ ������� ��������� $a_\mu$
������� ���� �� $\vec p$\,; \ ������� $p\,a=p_0 a_0-\vec p\,\vec a=0$
���������� ��� ���������� (\ref{gauge})\,. ������� (\ref{solu}) ��������
\textit{������� ������} -- ��� ��������� �������� �������� ������
���������������� ����� ����� ����������� �������� $\vec p$ \,�� ���������
����� $c$\,.

� ������� ����� ���������� ������� $\vec E$\,,\ $\vec H$ � $\vec p$ � �����
������ ������������ ���� �����. ��� ����� ��
\begin{equation}
\label{ort1}
\vec E \ = \ -\,\partial_0 \vec A - \vec\partial A_0 \
= \ -i(p_0 \vec a - a_0 \vec p)\,e^{ipx}\,,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{ort2}
\vec H \ = \ \vec\partial\times \vec A \
= \ -i(\vec p \times \vec a)\,e^{ipx}\,,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{ort3}
\vec p\,\vec E \
= \ -i(\vec p\,\vec a\,p_0 - \vec p\,{}^2 a_0)\,e^{ipx} \
= \ -i(a_0 p_0 p_0 - \vec p\,{}^2 a_0)\,e^{ipx} \
= \ -i a_0 p^2 e^{ipx} \ = \ 0\,.
\end{equation}

\vspace{.2cm}

������������ ������� ���� (\ref{solu})\,, �.\,�. ������� ���� �� �������������
������������� �������� � ������������� (�� ���������������� $p\,a=0$)
�����������, �������� (������������) \textit{���������������� �����}\,:
\begin{equation}
\label{EMf}
A_\mu(x) \ = \ \int\!d\vec p \ (a_\mu(\vec p)\,e^{ipx}
 + a^*_\mu(\vec p)\,e^{-ipx})\,,
\ \ \ \ \ \ p_0 = |\vec p\,|\,, \ \ \ \ \ \ p\,a = 0
\end{equation}
(�� ������� ��� ���� ������������, � ��� ����� ���� ���� ������������)\,.
������ �� �������, ��� ������� ������, ��� ��������� ���������, �� ������
������� ���������� ����� ������� $p^2=0$\,. �������� �������������� �������
��� ������� � �������� �������, � ��������� $p^2=m^2 c^2$\,. ���� ����� $m$
����� ����, �� ������� (\ref{Ep}) �����������
(������, ��� �������� ���������������� ���� $0/0$\,, ������������� ���,
��� ����������� ������� ����� ��������� ���� �� ��������� �����)\,,
������ ����������� $\vec p\,{}^2=E^2/c^2$\,, ��������� �� $p^2=0$\,,
�������� � ����, ������������ ����� ����� �������� � ���������
����������� �������, $E=c|\vec p\,|$\,, ����������� � (\ref{p20})\,.
����� ����� �������� �� �������� ���������; ��� ������� � ������������
���������� ���������������� ����� ��� ������� � ������� ������ --
\textit{������}\,.

� �������� ������� ���������� ��������� ������� (\ref{EMf}) �������� ���������
���� ��� ����������� ������ \textit{���������� ���������� ����}\,,
����������� ������� � ������ $m$ (� ������, ������ ����)\,. � �������
������ $\hbar=c=1$ ��� ����� ���
\begin{equation}
\label{qf}
\varphi(x) \ = \ \int\!d\vec p \ (a_{\vec p}\,e^{ipx}
 + a^+_{\vec p}\,e^{-ipx})\,, \ \ \ \ \ \ \ \ p^2 = m^2\,, \ \ \ \ \
p_0 = \sqrt{m^2+\vec p\,{}^2}
\end{equation}
� ������������� \textit{��������� ������-�������}
\begin{equation}
\label{KG}
(\partial^2 + m^2)\,\varphi(x) \ = \ 0\,.
\end{equation}
��������� ���� ������������� ���������� �� ������������ ���, ��� ���������
$a^+$ � $a$ ����� ��� \textit{�� ��������} (���������� ������������)
������� ��������� $\vec p$\,, � �������� ���
\textit{���������} �������� � �����������. �� � ������� ��
����� 2, ������ �� ������ ����������� �� ���� ����� ����������
\textit{�������} �������� �������� $\vec p$\,. ��������� ��� ��������
�������������� ����������� �������� ������ � ������������� ����������, ���,
����������, � ����������� ������������� ��������� ����� ���� (\ref{qf}) �
������ ������������ ������. � �������������� �� ����� ������ ��� �������
���������� ����������� ��������������� ����������� (\ref{cr})\,:
\begin{equation}
\label{crp}
[a_{\vec p}\,,\,a_{\vec q}] \ = \ [a^+_{\vec p}\,,\,a^+_{\vec q}] \ = \ 0\,,
\ \ \ \ \ [a_{\vec p}\,,\,a^+_{\vec q}] \ = \ \delta(\vec p - \vec q)\,.
\end{equation}
����������� � ��������� ��������� ���������� $\delta$-\textit{�������}\,,
���������� �������� ������ $\delta_{ij}$ �� ������ ���������� �����������
�������, � ����� �������� ��������� ������ ������������ �
���������� ����� ������ �����.

������ � ���������� �����������. ���� �� � �������������������� ������ ����
����������� � ��� ���� \textit{���������} ��� ���������� �������� �
����������� $\{a^+_i,\,a_i\}$\,, �� �� �������������� ����������� ����� �� ���
\begin{equation}
\label{crN}
[a_i,\,a_j] \ = \ [a^+_i,\,a^+_j] \ = \ 0\,, \ \ \ \ \
[a_i,\,a^+_j] \ = \ \delta_{ij}\,,
\end{equation}
��� ��������: ��������� \textit{������ �����} (� ������� ���������)
\textit{������} ��������������; ���������� ����� ���� ��������� ������ �����
����������� �������� � ����������� \textit{������ � ���� ��} ����. �� �� ����,
�� � ����������� ��������, ������������ � ������������ (\ref{crp}) --
��������� ���������� ������ ���������� ���� ��� ����������� ���������, �����
$\vec p=\vec q$\,; ��� $\vec p\neq\vec q$ ������� $\delta(\vec p - \vec q)$
������ ���������� � ����. �������, ��� � (\ref{crp}) ������ $\delta$-�������
�� ����������� ���������. ������ ��������� ����������� ��������� ��
������������ ����� �� ��������������, �� ����������� ����������, ��
����������� ������������� ���� ����������� ������ $\delta(x-y)$ �
������������� ��������� ����������� $x$ � $y$\,. ��������������, ��������,
$p\,x$ ����� ������ �������� �� ��������� ������������ �������������
��������, � ������������ ������������ ����� $p$ � $x$.

�� ������ ���������� $\delta$-������� ����������� ������� ����� �� �����
��������� (\ref{delta}) ��� $\delta$-�������, � ����������� ��� ���������
$\delta_{ij}$ ��� ��������� ��������� ���������� ��������� $\mathbb I$\,: \
$\delta_{ij}a_j=\mathbb{I}_{ij}a_j=a_i$\,. \ �� ����� ����������
$\delta$-������� ��� �� ����������� ������. ����������
������������� ������� ���������
\begin{equation}
\label{gener}
(Kf)_i = K_{ij}f_j \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \
(Kf)_x = \sum_y K_{xy}f_y \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \
(Kf)(x) = \int\!dy\,K(x,y)f(y)\,,
\end{equation}
�������������� ���� �������� �� ���������� � ������� ������������
� ����������� ��������� � ���������� � �������������� ������������.
����� ��������� ������� $K(x,y)$ �� ���� ����������, �� ��� ����� ����������
�������� �������� $K$, ����������� ������� $f(x)$ � ������� $(Kf)(x)$
�������� (\ref{gener})\,. ��������, ���������� ���������� ������ ���� ��������
������������� �������� $\mathbb{I}: f\rightarrow f$\,. ��������������� ���
������� $\mathbb{I}(x,y)$ �� � ����� ������� $\delta$-��������:
\begin{equation}
\label{deltaf}
\mathbb{I}(x,y) \ \equiv \ \delta(x-y)
\ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
\int\!dy\,\delta(x-y)f(y) = f(x)
\end{equation}
(�� ����������� ����������� � ���� ������� �� \textit{��������} ����������,
��������� �������������� ��������������� � �������� $\pm\infty$ � ����������
����� ��������)\,. ��������, ������, � ���, ��� ����� ��������� ��� �������
��� ��������� �� ��� ����: ��� ���� ������������� ������ ���������
$\mathbb{I}$\,, ��������� ���������� $\mathbb{I}(x,y)$ ���
������� ������� �� (��������) ���� ���������� �� �������. ��� ��������,
����������� �� ���� �������, ������������ $\delta$-������� ������ ��� ������
���������. ����� ������, ����� ���������, ���������� $\delta$-�������, �����
����� ����� ���� ��� \textit{���������������} ��������� ��� ������������
��������������.

������ ��� ����� ������, ����� ����� ���������� � $\delta$-�������� ����� ���
� �������, ���������, ������ � ������������ (\ref{deltaf})\,, ��������� ��
��������:
\begin{equation}
\label{prop}
\delta(x-y) = \delta(y-x)\,, \ \ \ \ \ \
g(x)\,\delta(x-y) = g(y)\,\delta(x-y)\,, \ \ \ \ \ \
\int\!dy\,\delta(y-a) = 1\,.
\end{equation}
������� ������ ���������, ��������������� ��� � ������������ ��������
$f(y)$\,:
\begin{equation}
\label{}
\int\!dy\,g(x)\,\delta(x-y)f(y) \ = \ g(x)f(x) \
= \ \int\!dy\,g(y)\,\delta(x-y)f(y)\,.
\end{equation}
����� $\delta$-������� � ����������������,
\begin{equation}
\label{diffd}
\delta'(x-y) \ \equiv \ \partial_x\delta(x-y) \
= \ -\delta'(y-x)\,, \ \ \ \ \ \int\!dy\,\delta'(x-y)f(y) = f'(x)
\end{equation}
(������������ ��������������� �� ������)\,. ������ ������ � $\delta$-��������
������� � ������������ ������������. ���� ������ �������, ��� ��� �� �������,
� \textit{����������} �������, �� �����������, ������ ������, ��������
�������� ��� ���������� ��������� ���������. � ���� ������������ $\delta(x)$
������ ���� ��� $x\neq0$ ��� ���������, �� $\delta(0)$ �������� �� ����������.
����� ����, ����� $\delta(x)\delta(x)=\delta(x)\delta(x-0)=\delta(0)\delta(x)$
�� ���������� � ������������ ���� � ����� $\delta$-������� ��� �����������
����������.

������������� �������� ����������� ��������� ������������� $\delta$-�������:
\begin{equation}
\label{expd}
\delta(x-y) \ = \ \frac{1}{2\pi}\int\!dp\ e^{ip(x-y)}\,.
\end{equation}
���������� ��� ��������� ��������������� ���������, ���, � ����
����������� (\ref{deltaf})\,, �������� ���������� �����������
\begin{equation}
\label{F1}
\frac{1}{2\pi}\int\!dy\,dp\,e^{ip(x-y)}\varphi(y) \ = \ \varphi(x)
\end{equation}
��� ������������ ������� $\varphi$ (�� ���������� ������)\,. ��������������
��������� (\ref{F1})\,, � ��� ����� � (\ref{expd})\,, ��������������� � ������
\textit{���������� �����}\,. ����� ���������� (\ref{F1}) � ���� ���� ��������,
\begin{equation}
\label{F2}
\varphi_p \ \doteq \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\!dx\,e^{-ipx}\varphi(x)\,,
 \ \ \ \ \ \ \
\varphi(x) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\!dp\,e^{ipx}\varphi_p\,,
\end{equation}
��������, ��������������, ������ � �������� \textit{�������������� �����}\,.
��� ��������������, ����������� ���������� � ���������� � ������, ������������
������� �� \textit{�������������} � \textit{����������} ������������� �
�������.

��������� ��������� ������ ��������� ���������� ���������. � ������,
������������� (\ref{expd}) ���� �� ��� ���� ��� ����������� ������� (\ref{id})
� �������������� ������������, ����� �������� ��������� �� �����������
�������� ��������������������� ��������� �������� $-i\partial_x$\,
(��������, ��� � ��� $\hbar=1$)\,:
\begin{equation}
\label{eigp}
|p\!> \ = \ \frac{e^{ipx}}{\sqrt{2\pi}}\ , \ \ \ \ \ \ \ \
-i\partial_x|p\!> \ = \ p\,|p\!>\,.
\end{equation}
�������������, ������� ������� �� ���� ������������ ����������� ��������������
�� $x$\, � �������� ��������������� �������� �����,
\begin{equation}
\label{dualp}
|\varphi\!> \ = \ \varphi(x)\,, \ \ \ \ \
<\!\chi\,|\varphi\!> \ = \ \int\!dx\,\chi(x)\,\varphi(x)\,, \ \ \ \ \
<\!p\,| \ = \ \frac{e^{-ipx}}{\sqrt{2\pi}}\ ,
\end{equation}
�� ������� �� (\ref{expd})\,, ���
\begin{equation}
\label{}
<\!p\,|p\,{}'\!> \ = \ \delta(p\,{}'-p)\,, \ \ \ \ \ \
\int\!dp\ |p\!><\!p\,| \ = \ \delta(x-y) \ = \ \mathbb{I}(x,y)\,,
\end{equation}
� ������������ ����� $\varphi_p$ ����������� ������ ������������ �������
$|\varphi\!>$\,:
\begin{equation}
\label{}
\varphi_p \ = \ <\!p\,|\varphi\!>\,, \ \ \ \ \ \
|\varphi\!> \ = \int\!dp\ \varphi_p\,|p\!> \
= \int\!dp\ |p\!><\!p\,|\varphi\!>\,.
\end{equation}

�������������� ����������� (\ref{crp}) ��������, ����� �������,
�������������� ���������. �� �� ����� ����� ��������� ��������� ���������
������ ���� -- � ����� �� ���������� ������, ���� ��� �������� �������
(\ref{qf})\,,\,(\ref{crp}) ������. ������� ���� ����� ����� -- ���������
��������, �������� �� ������, ��������� ���������� ���������, ����������
������������ ������� (���� $a^+_{\vec p}a^+_{\vec q}|0\!>$)\,, � ���� ����
(\ref{qf}) � ������������ ����������� ����������� ��� �������� ��
��������������.

\end{document}
