\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\textwidth 16cm
\textheight 25cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin -1.5cm
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
�.\,�.\,���������� \\[.3cm]
\large\textbf{�������� � �������������� ������}
\end{center}

\vspace{.5cm}

1. \ ����������� �������� �� �������� ������� \dotfill \ \ 1

2. \ ����������� ������������ \dotfill \ \ 5

3. \ �������������, �����������, �������������� \dotfill \ \ 7

4. \ �������������� ������������ \dotfill \ \ 12

5. \ �������� ����������� \dotfill \ \ 14

6. \ �������� ����� � $\delta$-������� \dotfill \ \ 16

7. \ ���������� ������� \dotfill \ \ 18

\vspace{.6cm}

\begin{center}
\large \textbf{1. ����������� �������� �� �������� �������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

����� � $N$-������ ��������� ������������ $V$ ����� �������� �������� $A$\,.
������� $\mathbf{x}$\,, ��� ������� $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$\,,
���������� ��������������� $\text{Ker}A$\,, ���������� \emph{�����} ���������
$A$\,, � ������� ���� $A\mathbf x \ \ (\mathbf{x}\in V)$ -- ���������������
$\text{Im}A$\,, \emph{�����} ����� ���������. ����������� $\text{Ker}A$ �
$\text{Im}A$ ������� ����� ����� ������������
\begin{equation}
\label{N}
\text{dim Ker}A \ + \ \text{dim Im}A \ = \ N\,.
\end{equation}
�������������, ������� ����� ���� $\mathbf e_1\,, \ldots , \mathbf e_k$ ������
������ $V$. ����������� ��������� ��������� $A$ �� ��������� ����� ������
������� $A\mathbf e_{k+1}\,, \ldots , A\mathbf e_N$ ������� ���������� (�����
�����-�� ���������� �������� $\mathbf e_{k+1}\,, \ldots , \mathbf e_N$
������������ �� ����) � �������� ����� ������ $A$\,, ����������� ��������,
�������������, ����� $N-k$\,.

������ $\text{Ker}A=\mathbf0$ (����� ���� ������� ��
������ ������� $\mathbf0$) �������� $\text{dim Ker}A=0$ �
$\text{dim Im}A=N$ (������������ $\text{Im}A$ ��������� � $V$)\,. �������� $A$
� ���� ������ ����� �������� $A^{-1}$, ���������
���������� ������������ $V$ �� ���� �������-����������: ��� ������ ������� ��
����� ������������ ���������� $A$ � ���� � ��� ��, ����� �� ��������� ��������
������������ �� ����. ����������� ������� (����������) ��������� $A$ � �����
������ ������� �� ����. ��������� $A\mathbf x = \mathbf y$ (������, ������� ��
$N$ �������� ��������� � $N$ ������������ -- ������������ ������� $\mathbf x$)
��� ����� $\mathbf y\in V$ ����� ������������ �������
$\mathbf x=A^{-1}\mathbf y$\,.

��������, ���� $\text{dim Ker}A>0$\,, �� � $V$ ���� ��������� �������,
���������� ���������� $A$\,, ������� � ���� ������,
��������, ���������, � $\det A=0$\,. ����� ����, $\text{dim Im}A<N$ �
��������������� $\text{Im}A$ �� ��������� � $V$. ������� ���������
$A\mathbf x = \mathbf y$ ������ ����� ������� �� ��� ����� $\mathbf y$,\,
� ������ ��� $\mathbf y\in\text{Im}A$\,. ������ ������, ��� �������
$\mathbf y\in\text{Im}A$ ������ ������� ����� ����� �������, ��� ����
$A\mathbf x=\mathbf y$, �� � $A(\mathbf x+\mathbf z)=\mathbf y$ ��� ������
$\mathbf z$, �������� � $\text{Ker}A$\,.

� ����� ��������������, ����� ������� ��������� $A\mathbf x = \mathbf y$
(�.\,�. �� ��������� ��� ������� ��� �������� $\mathbf y$)
����� ������������ ����������� � ���� $\mathbf x_0+\text{Ker}A$\,, ���
$\mathbf x_0$ -- ���� �� ����� ������� (������� �������).
���������� ������������ ��������� ���� �����������.
����� $U$ -- ����� ��������������� ������������ $V$. ����� $V$ ����� �������
�� \emph{������}\,, ��������� � ���� ����� �� �������, �������� �������
����������� $U$\,. ������ ������ $\mathbf x$ �������� � ���� �����
(��-��������� coset), ������������ $[\mathbf x]=\mathbf x+U$, � �����
��������� ��� ��������������. ������ $[\mathbf x]$ � $[\mathbf y]$ ���������
���� � ������ ���� $\mathbf x-\mathbf y\in U$\,;
� ����� ������ ��� ������� $\mathbf x$ �
$\mathbf y$ �������� ������������� ��������������� ������� ������.
����� $[\mathbf 0]$ ���� ������ ��������������� $U$; ��� ��������� ������
����������������� �� ��������. ���������, ��� ������ ����� ���������� �
�������� �� �����, ������ ����� $[\mathbf x+\mathbf y]$ ������ �������
$[\mathbf x]$ � $[\mathbf y]$\,, � ����� $[\lambda\mathbf x]$ �����������
��������� ����� $\lambda$ �� ����� $[\mathbf x]$\,. ��� ����������� ���������,
��� ��� ��������� ����� ����� ���� �������������� ������� $[\mathbf x]$ �
$[\mathbf y]$ ����������� ������ ������
$[\mathbf x+\mathbf y]=[\mathbf x]+[\mathbf y]$\,.
���������� ��� ��������� �� �����. � ������������� ������:
\begin{equation}
\label{}
(\mathbf x+U) + (\mathbf y+U) = (\mathbf x +\mathbf y) + U\,, \ \ \ \ \ \ \ \
\lambda (\mathbf x+U) = \lambda\mathbf x + U\,.
\end{equation}
����� �������, ������ ����� ������� ���������� ���������� ���������
������������. ��� ���������� \emph{������-�������������} (������������ $V$ ��
��������������� $U$) � ������������ $V/U$. ���� �������� ������� � $V/U$
������ ���� $U=[\mathbf 0]$\,. ����������� ������������ $V/U$
����� $N-\dim U$. �������������, ������ ����� ��������������� $U$ ������
������ $V$, ����������, ��� ��������� (�� ������������� $U$) ������� ������
��������� ������, ������� ����������� ��� ������� �� $V/U$. ���� ���������
���������� ������� -- ����� ����� �������� ``������� �� ��������", �������
� ��������������� $U$, ������, ����������� ������-������������ (�� ����
��������� ���� �������) ������ ��������� ����������� $U$ �� $\dim V=N$\,.
��������� ������, ����� ��������������� $U$ �������� ����� ����������
��������� $A$\,. ����� �������� $A$ �� ������� �� $V$ ���������� �������� �
�������� ���� ��, �� ����, ��������� �� ������-������������ $V/U$.
�������������, $A(\mathbf x+U)=A\mathbf x$\,, �� ���� �������� $A$ ���������
��������� �� ���� �����, � ��� ������� ����� ���������� ��� �����������
����� �� ���� ������.

������ ������ ``����������" ��������������� $U$ ������������� �����������
������ �����. ��������, ��� \emph{������ ������} $U\oplus W$ ���������
����������� $U$ � $W$ � �������� $\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_k\}$ �
$\{\mathbf e'_1,\ldots,\mathbf e'_m\}$ ��������������,
�������� ������������ � �������
$\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_k,\mathbf e'_1,\ldots,\mathbf e'_m\}$\,,
����������� ��������, ��������, ����� ����� ������������ $U$ � $W$.
����� ������� � ��-�������: ������������ $V$ �������� ������ ������
�������������� $U$ � $W$ ���� � ������ ���� ����� ������ �� $V$
\emph{����������} ���������� � ���� ����� ���� ��������, ���� ��
������� ����� � $U$, � ������ � $W$. �������� ��������� ��������� �������
��������: ��� ���������� ��������� $V=U\oplus W$ ���������� � ����������,
����� $\dim V=\dim U+\dim W$, � ������������ ����� �������� $U$ � $W$ ���
������ $\mathbf0$. ������� �����, ��� ���������� ������������ $V$ � ������
����� ���� �������������� ����, ������� ��, ��������� �������������, ����
���� ���� �� ������ ��������� ��� �����������.

� ������������ � ������ ����� ����� ������ ����������� ��� ��������
����������. �������� $P$ ���������� \emph{����������}\,, ���� ���������
������� $P^2=P$. ����� $V=U\oplus W$. ����� ����� ������ $\mathbf x$
���������� �������������� � ���� $\mathbf x=\mathbf x_u+\mathbf x_w$, ���
$\mathbf x_u\in U, \ \mathbf x_w\in W$. ��������� �������� $P$ ��������
$P\mathbf x=\mathbf x_u$. � ���� ������������� ���������� ����
$\mathbf x_u=\mathbf x_u+\mathbf0$ �����
\begin{equation}
\label{}
(\mathbf x_u)_u=\mathbf x_u\,, \ \ \ \ \
(\mathbf x_u)_w=\mathbf0\,, \ \ \ \ \
(\mathbf x_w)_w=\mathbf x_w\,, \ \ \ \ \
(\mathbf x_w)_u=\mathbf0\,, \ \ \ \ \
\end{equation}
� ������ $P^2=P, \  \ U=\text{Im}P, \ \ W=\text{Ker}P, \ \
V=\text{Ker}P\oplus\text{Im}P$. �������������, �������� $P$ ��������
���������� (�� ��������������� $U$ ����������� $W$)\,. ������������ ��������
$1-P$ � ���� �����������
\begin{equation}
\label{1-P}
P(1-P)=0, \ \ \ \ \ \ (1-P)^2=1-P
\end{equation}
����������� ���������� �� $W$. �������, ��� ��� ������������� ��������� $A$
(�� ���������) ������������ $V$ �� ������� ���� ������ ������ ��� ���� �
������.

���������������� ������ ��������: ������� ��������� ��������� ���������� �
������ �����. ����� � $V$ ����� �������� $P$, ��������������� $P^2=P$.
������� ����� ��������� ������ $\mathbf y=P\mathbf x\neq\mathbf0$ �� ������
$P$. �� �� ����� ������������ ������������ � ���� $P$, ����� ���� ��
\begin{equation}
\label{}
\mathbf0 = P\mathbf y = P^2\mathbf x = P\mathbf x = \mathbf y\,.
\end{equation}
����, ����������� $\text{Im}P$ � $\text{Ker}P$ ����� ����. ����� ��
������������ ����� $\dim V$ � ���� (\ref{N})\,. �� ��������, ���
$V=\text{Ker}P\oplus\text{Im}P$.

����� � ����� (��� ��������������, ������������) ������������ $V$ ������
\emph{��������� ������������}\,, �.\,�. ���������� ������������ �������
$(\mathbf x,\mathbf y)$ � �������������� ���������
$(\mathbf x,\mathbf x)\geqslant0$\,, ������ ��������� ����� ����� ������ ���
$\mathbf x=\mathbf0$\,. \emph{������} ������� $\mathbf x$
�������� ���������������
�������� $|\mathbf x|=\sqrt{(\mathbf x,\mathbf x)}$\,; ������ ������� ������
����� ������� �����. ������� $\mathbf x$ � $\mathbf y$ ����������
\emph{��������������} ���� $(\mathbf x,\mathbf y)=0$\,. ��������� ������ ��
����� ���� ����������� ��� ����. ����� �����������, ��� ��� �������������
�������� ����������� \emph{������� ��������}\,,
\begin{equation}
\label{Pif}
(\mathbf x,\mathbf y) = 0 \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \
|\mathbf x \pm \mathbf y|^2 = |\mathbf x|^2 + |\mathbf y|^2\,,
\end{equation}
� ��� ������������ -- \emph{��������� ���������������}\,:
\begin{equation}
\label{paral}
|\mathbf x + \mathbf y|^2 + |\mathbf x - \mathbf y|^2
 = 2\,|\mathbf x|^2 + 2\,|\mathbf y|^2\,.
\end{equation}
��� ����� �������� ����������� ����� �����������
\begin{equation}
\label{neq}
|(\mathbf x,\mathbf y)| \leqslant |\mathbf x|\,|\mathbf y|\,, \ \ \ \ \ \ \
|\mathbf x \pm \mathbf y| \leqslant |\mathbf x| + |\mathbf y|\,,
\end{equation}
�������������� ������� ����� ���� ���� ����� ��� ������ ������������
������������. ������ �� ��� (\emph{����������� ������})
��������� ���������� ���������
$(\mathbf x,\mathbf y)/|\mathbf x||\mathbf y|$ ��� ������� ���� ����� �������
���������; ������ ����������� �����������, ��� ����� ���� ���� ������
������������ ������ ����� ������� ������� (������, � ���� �������, �������,
��� ������ �������� ���� ���� ������ ������ ����� ������� �������, ��������,
$|\mathbf x|-|\mathbf y|\leqslant|\mathbf x\pm\mathbf y|$)\,.

������ ������� � $V$ \emph{�����������������}
�����, ������� ������� $(\mathbf e_i,\mathbf e_j)=\delta_{ij}$\,.
���������������, �.\,�. ������� �� ������������� ������
$\{\mathbf e'_1,\ldots,\mathbf e'_N\}$ � ��������������, ������ �����������.
�� ������� ���� �� ������������ ��������� �����: $\mathbf e_1=\mathbf e'_1$, \
$\mathbf e_2=\mathbf e'_2+\alpha\,\mathbf e_1$, ��� ����������� $\alpha$
������������ �� ���������� $(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=0$, �����
$\mathbf e_3=\mathbf e'_3+\beta\,\mathbf e_1+\gamma\,\mathbf e_2$, � �.\,�.
�������� ������������� �����, ����� ����� ������� ��� ��������
������������������, ������� �� �����. � ����� �������:
\begin{equation}
\label{orto}
(\mathbf e_i,\mathbf e_j)=\delta_{ij}\,, \ \ \ \ \
\mathbf x = \sum_{i=1}^{N} x_i \mathbf e_i\,, \ \ \ \ \
x_i = (\mathbf e_i,\mathbf x)\,.
\end{equation}

��������� ���������� ���������� ������������, ��������� ���� �������� �� $V$,
������������� ������� ������� (��������) �������� ���������������.
�������, ������������� ����� ��������������� $U$, �������� ���������������
$U^\bot$, ���������� ��� \emph{������������� �����������}\,. ����� ��������
$U$ � $U^\bot$ �������� ������ $\mathbf0$\,. ���� �� ������� �����������������
����� ������������ $V$ ���, ��� ��� ������ ����� ����� $U$, �� ��������� �����
������ $V$ ����� ������ � $U^\bot$ � ����� ��������� ��� �������. ��� ����� ��
��������, ��� $V=U\oplus U^\bot$. \,$U$-���������� ������� $\mathbf x$
(��� \emph{������������� ��������} �� $U$) ����� ���
$\mathbf x_u=\sum_i x_i\,\mathbf e_i$\,, ��� ����� ������� ������ �� ������
$U$. ����� $\mathbf x-\mathbf x_u\in U^\bot$, ��� � ���������. � ���������,
\begin{equation}
\label{perp}
(\mathbf x_u\,, \ \mathbf x - \mathbf x_u) = 0\,, \ \ \ \ \ \
|\mathbf x|^2 = |\mathbf x_u|^2 + |\mathbf x-\mathbf x_u|^2\,.
\end{equation}
������ $\mathbf x-\mathbf x_u$ ����� �������������� ����� ��������������,
���������� �� �����, ��������������� ����� ������� $\mathbf x$\,,
�� ��������������� $U$, � ��� ����� ����������� ����������� �����������
����� ���� ������ � ���������������� $U$, ���������
��� ������ $\mathbf y\in U$ ��������� ��������������� ��������
$\mathbf x-\mathbf x_u$ � $\mathbf y-\mathbf x_u$ �����
\begin{equation}
\label{min}
|\mathbf x - \mathbf y|^2
 = |(\mathbf x - \mathbf x_u) - (\mathbf y - \mathbf x_u)|^2
 = |\mathbf x - \mathbf x_u|^2 + |\mathbf y - \mathbf x_u|^2
 \geqslant |\mathbf x - \mathbf x_u|^2\,.
\end{equation}

� \emph{�����������} ��������� ������������ ����������� ����������
������������ ��������� ��������������. ������� $(\mathbf x,\mathbf y)$
������ ���������� ����������������� � ��� ������������ ���������� ����������
�� �����������. � ����� � ����, ��������� �������� �� ������� ���������, ���
���������� \emph{����������-��������} �� �������:
\begin{equation}
\label{compl}
(\mathbf y,\mathbf x) = \overline{(\mathbf x,\mathbf y)}\,, \ \ \ \ \ \
(\mathbf x,\lambda\mathbf y) = \lambda (\mathbf x,\mathbf y)\,, \ \ \ \ \ \
(\lambda\mathbf x,\mathbf y) = \bar\lambda (\mathbf x,\mathbf y)\,.
\end{equation}
��������� ������� (����������) ������� ��-�������� �����������, �����������
����� � ��������������� �� ��������, ����� ��� � �����������
(\ref{Pif})-(\ref{neq}). ������� ����������� (\ref{neq}) ��� ������������
(� ��� ����� � ��� �������������) ������������. �����
$\mathbf e=\mathbf y/|\mathbf y|$ -- ������������ ������ ��������� �����.
�����
\begin{equation}
\label{Sch}
0 \leqslant |\mathbf x - (\mathbf e,\mathbf x)\,\mathbf e|^2
 = |\mathbf x|^2 + |(\mathbf e,\mathbf x)|^2
 - (\mathbf e,\mathbf x)(\mathbf x,\mathbf e)
 - \overline{(\mathbf e,\mathbf x)}(\mathbf e,\mathbf x)
 = |\mathbf x|^2 - |(\mathbf e,\mathbf x)|^2\,,
\end{equation}
��� � �������� $|(\mathbf x,\mathbf y)|\leqslant|\mathbf x|\,|\mathbf y|$\,.
������ �� ���������� (\ref{neq}) ������������ ���:
\begin{equation}
\label{tri}
|\mathbf x + \mathbf y|^2 = |\mathbf x|^2 + |\mathbf y|^2
 + (\mathbf x, \mathbf y) + (\mathbf y, \mathbf x)
 \leqslant |\mathbf x|^2 + |\mathbf y|^2 + 2\,|\mathbf x|\,|\mathbf y|
 = (|\mathbf x| + |\mathbf y|)^2\,,
\end{equation}
��������� $(\mathbf x,\mathbf y)+(\mathbf y,\mathbf x)
 =2\,\text{Re}(\mathbf x,\mathbf y) \leqslant 2\,|(\mathbf x,\mathbf y)|
 \leqslant 2\,|\mathbf x|\,|\mathbf y|$\,.

\vspace{.2cm}

������ ���� � ����������� ��������� ������������� �����������
\emph{���������������} (��� \emph{���������}) ����������, �.\,�. ����������,
��� ������� ���������
\begin{equation}
\label{}
(A\mathbf{x},\mathbf{y}) \ = \ (\mathbf{x},A\mathbf{y})
\end{equation}
����������� ��� ����� $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V$. ��� ����������� ��������
������ ��������� �����������, ��� �� $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ �������
$(A\mathbf{x},\mathbf{x})=\bar{\lambda}|\mathbf{x}|^2=(\mathbf{x},A\mathbf{x})
=\lambda|\mathbf{x}|^2$. ����������� �������, ���������� \emph{���������}
����������� ���������, ������������, ��������� $0=(A\mathbf{x},\mathbf{y})
-(\mathbf{x},A\mathbf{y})=(\lambda-\mu)(\mathbf{x},\mathbf{y})$\,. ����
�������� $A$ �� ������� ������� ��������������� $U\subset V$
�� $U$ \ ($\mathbf{x}\in U \Longrightarrow A\mathbf{x}\in U$)\,,
�� � $U^\bot$ �������� ��� �� ���������:
\begin{equation}
\notag
\mathbf{y}\in U^\bot  \ \ \Longrightarrow \ \
(\mathbf{x},\mathbf{y})\,=\,0 \ \ \forall \mathbf{x}\in U \ \
\Longrightarrow \ \ (\mathbf{x},A\mathbf{y})\,
=\,(A\mathbf{x},\mathbf{y})\,=\,0 \ \ \Longrightarrow \ \
 A\mathbf{y}\in U^\bot\,.
\end{equation}
������ ������� ������������� ���������: ��������������� �������� �����
������������� �����, ������������ �� ����������� ��������. �������������, �
����������� ������ � ������ ��������� ���� ���� �� ���� ����������� ������.
����� $A\mathbf{x}=\lambda_1\mathbf{x}$\,. ������������ �����������
��������, ���������� ������������ �������� $\lambda_1$\,, ��������
��������������� $U_1$. ��������� $AU_1\subset U_1$, �� $AU_1^\bot\subset
U_1^\bot$, � ����� ������� $A$ ���������� � ������������
$U_1^\bot$. ��� ����� �������� ����������� ������ (� ������ �����������
��������� $\lambda_2$)\,, �� �������� ��������������� $U_2$\,, � ��� ��
����������. ������� ����������� �����, � ������� ������� $A$ �����������,
���������� �� (������������������) ������� �������
������������� �������������� $U_k$\,. �������� $A$ ����������� ��
������������� ���������� �� ��� ���������������,
\begin{equation}
\label{}
A \ = \ \sum_k\,\lambda_k P_k\,, \ \ \ \lambda_k \in \mathbb{R}\,, \ \ \ \
P_k V \ = \ U_k\,, \ \ \ P_k^2 \ = \ P_k\,, \ \ \ P_k\,P_m \
 = \ 0 \ \ \ (k\neq m)\,,
\end{equation}
����� ������� $\sum_k P_k=1$ \,���� ��������� (�������������) �������� � $V$.

\newpage

\begin{center}
\large \textbf{2. ����������� ������������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

����������� ������������ ��������� ��� ������ ��������� ������������
������������ �� ��������� ������������� �� ���������������� ������. �����
������������� (������, ���������) ������, ���������� ���������� �����������
���������� ������� ������������������� �������� � ����������� ����, �������
�� ���� � ������������� �������������. ����� ����������� ��������� �������
���������������� ���������, ������ ������� � (\ref{orto}) ����������� $N$ ��
$\infty$\,,
\begin{equation}
\label{Hilb}
(\mathbf e_i,\mathbf e_j)=\delta_{ij}\,, \ \ \ \ \
\mathbf x = \sum_{i=1}^{\infty} x_i \mathbf e_i\,, \ \ \ \ \
x_i = (\mathbf e_i,\mathbf x) \in \mathbb{C}\,,
\end{equation}
�.\,�. ������� ���������� ������ ������������ �������� ����������
(� ������������ ��������������, ��� ��������, ��� � �����������) ��������
����� ����������� ����������������� �������� ��������. ����� �������, ���
����� ����� �� ����� ���� ����������, � ������������ -- ������, ���� �� �����,
����� ����� � ��������� ������������ �������� ���� ���������. �������������,
\begin{equation}
\label{l2}
|\mathbf x|^2 = (\mathbf x,\mathbf x) = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2\,, \ \ \ \
\ \ \ (\mathbf x, \mathbf y) = \sum_{i=1}^{\infty} \bar{x_i}y_i\ ,
\end{equation}
� �������� ���� � ������ ������ ������� ���������. �����������, ����������
����������� ���������� ���� $\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2$ ��� ������� �������
$\mathbf x$\,, ��������� ����� �
\begin{equation}
\label{}
|(\mathbf x, \mathbf y)| = |\sum_{i=1}^{\infty} \bar{x_i}y_i|
 \leqslant \sum_{i=1}^{\infty} |\bar{x_i}y_i|
 = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|\,|y_i| \leqslant
 \frac{1}{2}\,(|\mathbf x|^2 + |\mathbf y|^2) < \infty\,,
\end{equation}
��� $2\,|a||b|\leqslant|a|^2+|b|^2$ ����� $(|a|-|b|)^2\geqslant0$\,.
�������� $|\mathbf x+\mathbf y|$ � ���� ������ ���� ������� � ����
(\ref{paral}) ��� (\ref{neq})\,. ����� ����� ������ ��������������
����������� ������:
\begin{multline}
\label{}
|(\mathbf x, \mathbf y)|^2 \
 = \ (\sum_i \bar{x_i}y_i)\,(\sum_j x_j\bar{y_j}) \
 = \ (\sum_i \bar{x_i}x_i)\,(\sum_j y_j\bar{y_j}) \\
 - \frac{1}{2}\,\sum_{ij} (x_i y_j - x_j y_i)\, (\bar{x_i}\bar{y_j}
 - \bar{x_j}\bar{y_i})
 \leqslant (\sum_i \bar{x_i}x_i)\,(\sum_j y_j\bar{y_j})
 = |\mathbf x|^2\,|\mathbf y|^2\,.
\end{multline}

����������� ���� ������������, ������������ $l_2$\,, ����������� ��� �
\emph{������}\,. ��� ��������, ��� ������ \emph{����������}
������������������ �������� $\{\mathbf y_n\}$ (�� ���� �����, � �������
�������� $|\mathbf y_m-\mathbf y_n|$ ���������� ����� ������ ������ ���
������� $m$ � $n$) ������ ����� ������, ������������� ����� �� ������������.
������ $\mathbf y_n\rightarrow\mathbf y$ ����������, �����������, � ������
$|\mathbf y_n-\mathbf y|\rightarrow0$\,. ������� ������������ $l_2$ �������
�� ����, ��� ������� $|\mathbf y_m-\mathbf y_n|^2
=\sum_{i=1}^{\infty}|(\mathbf y_m)_i-(\mathbf y_n)_i|^2$ �������� � �������
�������� $i$-�� ��������� �������� $\mathbf y_m$ � $\mathbf y_n$ ��� �����
$i$\,. ������, �������� ������������������ $\{(\mathbf y_n)_i\}$ ��� ������
$i$ �������� � ���������� ����� $y_i$\,. ��� ����� ���� �� �������
\emph{��������������} ����������� ������������������ $\{\mathbf y_n\}$
� ������� $\mathbf y=\sum_{i=1}^{\infty}y_i\mathbf e_i$\,. ��� ���� ������
��������, ��� ������ $\mathbf y$ ����������� $l_2$ � �������������
�������� �������� ������������������ $\{\mathbf y_n\}$ � ��������� ����
(� �� ������ � ��������������) ������. ����� �������������� ������� ���������
������������, ��������� ��� ���� ����������� ������������� ������� � �������
$n\rightarrow\infty$ ����� � ����������� ����� �������
$(\mathbf y_n)_i$\,. ��� ��������� �������������� ���. ��������� �������
���� �������� ����� ��������� � ������ ��� ����������, ��������
$\sum_{i=1}^k|(\mathbf y_m)_i-(\mathbf y_n)_i|^2$, ��������� ����������
������� $(\mathbf y_n)_i\rightarrow y_i$\,, ����������, ��� ��������
$\sum_{i=1}^k|(\mathbf y_m)_i-y_i|^2$ ���� \emph{���������� ��} $k$\,,
� ����� ���������� $k$ � �������������. ����� ����� ������� ��������, ���
$|\mathbf y|^2=\sum_{i=1}^{\infty} |y_i|^2<\infty$ �
$|\mathbf y_n-\mathbf y|\rightarrow0$\,.

������������� $l_2$ �� ���� � ������������� ������ \emph{������������
�����������}\,, ��������� ��� ���� ������ ������ ���������� �����������
������������ ������ ��������� ������������ �� ��������� �������������.
��� �� ������ �������, ���� ����� ���������� ����������� ���������� ����
(\ref{Hilb}) ��� ������ �������. ���������� ����������� ��������� ������������
$H$ �� ��������� �������������, ���������� ������� ����������������� �������
�������� $\{\mathbf e_i\}$ �����, ��� �� ������ ���������� �������,
�������������� ���� �������, � ������������ $H$ ���. ������� ��������� ����� ����
(\ref{Hilb})\,,\, $\mathbf x_n =\sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i$\,. ���������
$(\mathbf x_n,\mathbf x-\mathbf x_n)=0$\,, ��
\begin{equation}
\label{Bes}
|\mathbf x|^2 = |\mathbf x_n|^2 + |\mathbf x - \mathbf x_n|^2
 \geqslant |\mathbf x_n|^2 = \sum_{i=1}^n |x_i|^2\,.
\end{equation}
�������� ������������������ $|\mathbf x_n|^2$  ��������� � ����������.
������, ��� ��������, � ��������
$\sum_{i=n+1}^m|x_i|^2=|\mathbf x_m-\mathbf x_n|^2$ ��������� � ���� ���
������� $m$ � $n$\,. ������� �������� � ������������������ �� ��������
$\{\mathbf x_n\}$\,. ������� �������, ���������� ��
����������� ������������, �������, ��� ���������� ������������������
$\{\mathbf x_n\}$ ����� �������� ��������� ������ $\mathbf y\in H$\,. �������
$(\mathbf e_i, \mathbf x)=x_i$ � $(\mathbf e_i, \mathbf y)$\,. �����
������������� ������� $(\mathbf x, \mathbf y)$ �� ����� ����������, �������
������� �� ����������� ������, $(\mathbf e_i, \mathbf y)=
\lim(\mathbf e_i, \mathbf x_n)=x_i$\,, �� ���� ������ $\mathbf x-\mathbf y$
����������� ������������� ���� $\mathbf e_i$\,. �������������,
$\mathbf x-\mathbf y=\mathbf0$\,, � ������
$\mathbf x=\mathbf y=\sum_{i=1}^{\infty} x_i \mathbf e_i$ \,�\,
$|\mathbf x|^2=\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^2$.

�������� �����. �� ����������, ��� ������������ �������� �����������
������������ � \emph{��� �����} (\ref{Hilb}) � ����������� ������������
�������������� �������� �� ����������� ����� ������������.
������� ����� ������ ����������� ������������ �����, �� ����, ������ $l_2$\,,
��������� ������ ������ $\mathbf x$ ���������� ��������������� ������� �����
��������� $\{x_i\}$\,. �������, ����� ������������������
����������� ����� $\{x_i\}$\,, ��� ������� ��������� �������
$\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2<\infty$\,, ������, � ���� ���������� �������,
��������� ������ $\mathbf x$\,, �������������� \emph{����������} �����
(\ref{Hilb})\,. ���� �� ������������ ���� (\ref{Hilb}) ������� �� �� �����
������ ������������ $H$\,, � ������ �� ���������� ��� ���������
$\{\mathbf e'_j\}$\,, �� (��� ������� ������������ �������������
�������������) ������ ���������������� ���� ����� ����� ����� ������
�� $H$, �� �� ����������� ������ $\mathbf x$\,. �����
������� ������: ������ ���� ����� $\mathbf x_u$ -- ������������� ��������
������� $\mathbf x$ �� ��������������� $U$, ������� �������� ��������
������ �������� $\{\mathbf e'_j\}$\,. �������, ��� � ������������ ������������
������� �������� � ����������� �������������� ������� \emph{�����������}\,:
��������������� ������ ��������� ��� ���� ���������� ����� (�������)\,.
��� ���������� ������ �������, ��� ��� �� ���������� ��������� �������
�� ������������ ������. ����� ������������� ���������� ������������,
������������� ���������� ����������� ����� ���������� �����������
(������������� -- �����������������)\,, ������ ����������� $H=U\oplus U^\bot$
� (\ref{min}) �������� � ����. �������, ������, ��������� ����� ���� �����
$\mathbf x_n$ �� (\ref{Bes}) ����������� ��������� �������������� ���
��������� ������� $\mathbf x$ �� ��������� � ������ ��������� ����
$\mathbf y=\sum_{i=1}^n y_i\mathbf e_i$\,. �������������,
$|\mathbf x-\mathbf y|^2\geqslant|\mathbf x-\mathbf x_n|^2$ ��������
(\ref{min})\,, ��������� �� ����� ��������� �������� $\mathbf x-\mathbf y$
������ $\mathbf x-\mathbf x_n$ ����������� ����� ����
$\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}$\,.

\newpage
%\vspace{.7cm}

\begin{center}
\large \textbf{3. �������������, �����������, ��������������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

��� �� ���������, � �������������� ����� ������ ����������� ������������ �����
������ �� ��������� ��� ���������, ��������� �� ����, �� ����, ���� ���, ���
������� ������������ ����� ������ �������������� �� ������ ���������, �� �
������������ ��������� ������������ �������� �������� (��� �������
������������ ������������� �������������)\,. ������������ �� ����� ����������
�������, ������� ������� ������� ����� ������ ����� �����������, ������
����������� � ���������� � ������������� ������. � ������ ����� ���������
����� ������ �����, ���� ����������� ��������. � ����������� ������ �����
����� �������� ����������� ����������� � ������� ���������� ��������������
�����������.

� ������������ ������������ ����� ������� ���������� ����� ��� ��������� �������:
$|\mathbf x|=\sqrt{(\mathbf x,\mathbf x)}$. \emph{�������������} ����������
�������� ������������, � ������� ��������� ������������ ����� ���� �� ������,
�� ���� ������� ������� �������������� ��� \emph{�����} (������ �����)
$||\mathbf x||$\,, ��������������� ��������� ������� �������:
\begin{equation}
\label{norm}
||\mathbf x||\geqslant0\,, \ \ \ \ \ \
||\lambda\mathbf x|| = |\lambda|\cdot||\mathbf x||\,, \ \ \ \ \ \
||\mathbf x|| - ||\mathbf y|| \leqslant
||\mathbf x \pm \mathbf y|| \leqslant ||\mathbf x|| + ||\mathbf y||\,,
\end{equation}
������ ��������� $||\mathbf x||=0$ ����������� ������ ��� �������� �������.
����, ��� ����� ������������� ����������� �������� � ���� ����������� ���
������� ������. ������������� ������������ ������ ������������ � �����������.
��� �������, ��� ��������������� (������ �� ����������� �����������)\,.

� ������������� ������������, ��� � � ������������, ����������� ����� �����
��������� ������ ����� (�����) �� ��������. ������� ��� �����������, �������
\emph{����������� �������������} ��������� (�� ����������� ��������
������������)\,, ������ ���� ��������� �������� (���������� \emph{�������})
������������ \emph{����������} -- ������������ ������� �� ���������� ����������:
\begin{equation}
\label{dist}
\rho(x,y) \geqslant 0\,, \ \ \ \ \
\rho(x,y) = \rho(y,x)\,, \ \ \ \ \
|\rho(x,y) - \rho(y,z)| \leqslant \rho(x,z) \leqslant \rho(x,y) + \rho(y,z)\,,
\end{equation}
������ $\rho(x,y)=0$ ���� � ������ ���� $x=y$\,. ��������, ���
$\rho(x,y)=||\mathbf x-\mathbf y||$ � ������������� ������������ �������������
���� ��������.

�������, �������� ������ � ��������������� ���� �����������
\emph{�������������� ������������}\,. ��� ����� ��������� �����, ��� �����
������������� ���� ������� ����������, � ������, ��� ������������ ����
�������� ����� ���� � �����, ������������ ��������� \emph{������������} --
���������� ���������� �����������, ���� ������� ���������� ���� ���������� ��
������. � ����� ����� ������ ����� ����������, ������� ������ �������������
�����������, ���������: �������������� ����, ��� ������ ����� ������������
����������� ���� �� ����� �����������, � ��� ����������� ���� ������������
���� ���� �����������. � �������� ��������������� ������� ����� �������
���������� \emph{�����������} ����� ��������������� ������������: � ����� ����
����� ������ ������������ ���������������� �����������.

�������� � ������������ ��������� ��������� �� ��������������� �����������, ��
�������� � �������� �������, �� �������������� ����������� � �����������. ���,
������� �������, ����� ������������ ������� ���������� � ���� �� �����
�������������� ������� �� ���� ���������� ��������� ��������� �����������.
����� ��������, ���, ���� �� ����, ����� ��� ��� `�����' ������� ��� �������
��� �� ����� ��������������� �������.

������������ ��������� ������ �������������� ����������� �������� �������� �
��������� ������������, � ����� ����������� �����������. \emph{���������}
(���)����������� ���������� ����������� ������ (� ��� ����� ������������, �
���� ����������) ����� ������������. ����� �������,
�������� ���������� ���������, ���������� ���������
����������� ������ ����� �����. � ���������, ����� ����������� �������.
������ ������������ ����� ������� ���������� � ��������. �� ������������ ����
������� (��� ����������� ������������ ������ �����)\,. ����, ��� �����������
\emph{������} ����� �������� �������� �������. �������� ����������� �
����������� \emph{���������} ����� �������� ��������. �������������, �����,
��������, ������������ $U$ � $V$ �������, � ����� $x$ ����������� ��
����������� $U\cap V$. ��������� $U$ � $V$ ���� ����������� ������������, ��
$x\in U_x\subset U$ � $x\in V_x\subset V$, ��� $U_x$ � $V_x$ -- ���������
�����������, ���������� ����� $x$ � �������, ��������������, ������ $U$ � $V$.
������, ����� $x$ ����������� ��������� $U\cap V$ ������ ��
����� ������������ $U_x\cap V_x$\,. �������������, $U\cap V$ �������.

\emph{���������} (���)��������� ������ ������������ ��� ���������� ��������.
������� � ���� ���������� �� ����� ������������: ��� �����, �� �������������
������� ��������� ���������, ����������, �� �����������, ��������� ���������
���������. ����������, ��������, �������� ������ ��������� � �� ������������,
� ����� ����������� ������ � ����������� ��������� ����� ��������� ��������.
������ ����� ��������� �������������� (�������������) ����������� �����������
� �������� ����� �������������. ������� \emph{������ �������������} ���������
����� �����, � ����� ����������� ������� ���� ���� �� ���� ����� �� �����
���������. ����, ��� ��� ����� ������ ��������� �������� ��� �������
�������������. ��, ��������, �� ������ ���. ��� ���, ��������� $U$ ����������
\emph{���������}\,, ���� ��� �������� \emph{���} ���� ����� �������������.
�������������, ���������� ������ ��������� �������, ��� ����� �����
���������� �� �������� ������ ������������� ��� $U$, � ������������� �����
�����������, �� ���������� ����� �� $U$, �� ���� ������� ������� ������
���������� � ����.

\emph{����������} ��������� $U$ ���������� ��������� ���� ��� �����
�������������, ������������ $\overline U$. ����, ��� ���������� ����������
��������� ����� ��� ����. �� �������� �� ��������� ������������� ���������?
�������� �� ��������� ���������������, ������ ������ �������: �������������,
��� �� � ����� �������������, �� ��������� � �������� ��������� $U$, ���
�����-������ �����, ����� ����������� ����� �������������? �����������, ���.
����� ����� $x$ �� ����������� $\overline U$. ����� � ��� �������� ���������
����������� $V_x$ ��� ����� �� $U$. �� � ����� �� $\overline U$ � �����
����������� ���� �� ����� ����: ���� ���� �� � $V_x$ ������� ����� $x'$ ��
$\overline U$, �� $V_x$\,, ������ ������������ ��� $x'$\,, ������� ���� ��
��������� ����� �� $U$. �� ��������, ��� ����� ��������� ��������. ���� �����,
��� $\overline U$ ���� ���������� ��������� ���������, ���������� $U$.

����������� $f$ ������ ��������������� ������������ � ������ ����������
\emph{����������� � �����} $x$\,, ���� ��� ����� ����������� $V$ �����
$f(x)$ �������� ��������� ����������� $U$ ����� $x$\,, ����� ������� �������
����� ������ $V$\,. ����������� ��������� ����������� �� ���� ������������,
���� ��� ���������� � ������ ��� �����. �������-����������� �
�������-����������� ����������� ���� �������������� ����������� ����������
\emph{��������������}\,. ������������ ������������ �������� �
�������������� ������ ������� ������� ���� �����, � ��� ��������� ���������
�������� � ��������� �����������, ���������
������������� ����������� �� ���� ������������ ����������� ����, ��� ��������
������� ��������� ��������� ������ (� ���������� -- �������)\,. �������������,
�� ����������� �������������, �������� ��������� ��������� $W$ ��������
����������� ������ ����� �����, ������������ � ����������� ������ ���� �����,
������� ������ $W$.

���������� ������ ����������� ������������. ����� ���� �������� ����� ��������
�������� ����������: ����� $x$ � $y$ ������ ���� �����, ���� ���������� �����
���� $\rho(x,y)$ ����. � ����� � ���� ����������� ����� �����������, ���������
�� ������� �������� ��������� ����������� ��������. �� ��������� �
���������������, ����������� ������������ ���� ������ �������� � �����
��������, ��������������� �� ��������� ��������������� �������. ��
������������� ���� ���������������, ������� ��������� �� �����������������
������ ��� ��������������.

� ����������� ������������� ���������������� ������� �����������: ������ ���
����������� \emph{�������� ����} -- ������������ �����, ��������� �� ������
����� �� ����������, ������� ���������� ������� $r>0$\,.
����������, ����� ����������� ������������ ����� ���� ������������, ��� ����
���������. ��������� �������� �������� � ��������� �������� �� ������������
���������. ����������� ����� ����� ����������� $X$ � $Y$ (� ���������,
����� ������ � ����������) �������� $\inf\rho(x,y)$ ��� $x\in X,\,y\in Y$.
��������� ��������� ����: ��� ����� ���� ���������������� \emph{���������}
�������� $X$ � $Y$ ����� ����� ��� ���������������� \emph{��������} ���������
$X'\supset X$ � $Y'\supset Y$ (���� ���������� ����� $X$ � $Y$ ����� ���� ����
������ ����, ��� ��������, ����� �������� ��������� � ���� �������)\,.
���� ��������������: ����� ����� $x\in X$ �� ����� ���� ������ �������������
��������� $Y$ � ���� ����������� ����������, � ������� �������� �� $Y$
��������� ����������� $\rho(x,Y)>0$\,. ����������, $\rho(y,X)>0$\,. �������
��� ������ $x\in X$ ����������� � ���� ���� � ������� � $x$ � ��������
$r=\rho(x,Y)/3$\,; ���������� ��� ����� �� $Y$. ����������� �����
������������ ����� ��� ������� �������� ���������
$X'$ � $Y'$.

\emph{��������} ������������������ $\{x_n\}$ ����� ������������ ������������
���������� ����� $x$ �����, ��� $\rho(x_n,x)\rightarrow0$\,. ��������������
������� ������� �� ����������� ������������
$\rho(x,x')\leqslant\rho(x,x_n)+\rho(x_n,x')$\,: ��� \emph{������} ����� $x$
� $x'$, ����������� ��������� �����������, �� ����� ���� ���������
����� ������������������. ������ �� �������� � ������������� ���������� ���
������� ����� ����������. ����������� ������� �������� �������
\emph{���������� �����} ���������: � ����� ����������� ����� ����� ������
������ ����������� ���������� ����� ������� ���������. ������ �����
(��������, ������������� �������� ������ ������������) ������� � �����
��������� ������������������, ����������� � ������ ���������� �����.

�������������� �������� ����� ������ � ������� ������������ ������������:
������ �� ���������� ������������������ ����� � ��� ������?
��� ������������ (���������������� ��� ���������������) ������� ������������
������������ ������� ������������ �����������. � ����� ������ ��������
��������� \emph{����������}\,: ��� ������ ������������ ������������ $X$
���������� �������� ������ ����������� ������������ $\overline X$\,, � �������
$X$ �������� ����������������, ������ �����, ��� ��� ���������� �����������
��� ��� $\overline X$ (� ���� ������ �������, ��� $X$ \emph{������} �
$\overline X)$\,. ���� ���������� ������� � ���, ����� � ������������ $X$, �
�������� ����� �����, �������� ������ �� ���������� ������������������,
������� �� ����� ������� � $X$. ������ ������, ������� ������������
$\overline X$ ����������� ������ ���������� �������������������
����� ��������� ������������ $X$,
�������������� �� ���������� ��������: � ���� ����� (������, $\hat x$) ������
� ������������������� $\{x_n\}$ �������� ��� ����� ������������������
$\{x_n'\}$, ��� ������� $\rho(x_n,x_n')\rightarrow0$\,. �������, ��� ��
������, ��� ������������������ ��� � ��� ����� ������ � $X$ (��������, ������
��� ����� ������)\,, ������������� `������', � �� ����� ������. ����������
����� ������� � $\overline X$ (�� ���� ����� ����� �������� $\hat x$ �
$\hat y$) ������������ ��� ������ $\rho(\hat x,\hat y)=\lim\rho(x_n,y_n)$\,,
������ �� ����� �������������������-�������������� ���� �������.

����� �������� ������ �����������, �������� �������������� ������������
����������� ������������ $\overline X$, ��������� ��������� $X$ � ���, � �����
������� ������ $\overline X$. �� ����������� ������������ (\ref{dist})
���������� �������� �����������
\begin{equation}
\label{tetr}
\rho(x,w) \leqslant \rho(x,y) + \rho(y,z) + \rho(z,w)\,, \ \ \ \ \
|\rho(x,w) - \rho(y,z)| \leqslant \rho(x,y) + \rho(z,w)\,.
\end{equation}
������ �� $\rho(x,x')\leqslant\rho(x,x_n)+\rho(x_n,x_n')+\rho(x_n',x')$
����� �����, ��� ������������������ �� ������ ������ ������������� �� �����
���������� � ������ ��������. ��
$|\rho(x_n,y_n)-\rho(x_m,y_m)|\leqslant\rho(x_n,x_m)+\rho(y_n,y_m)$
�������, ��� \emph{��������} ������������������ $\rho(x_n,y_n)$ ��������, �
������ ������������� ����� ������, ������������ ���� $\rho(\hat x,\hat y)$.
�������, ��
$|\rho(x_n,y_n)-\rho(x_n',y_n')|\leqslant\rho(x_n,x_n')+\rho(y_n,y_n')$
�����, ��� ���� ������ �� ������� �� ������ �������������� ���������������
�������. ���������� ����������� ������ (\ref{dist}) ��� ������������
$\overline X$ ����� ��������, ��������:
\begin{equation}
\label{}
\rho(x_n,z_n) \leqslant \rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,z_n) \ \ \ \ \
\Longrightarrow \ \ \ \ \
\rho(\hat x,\hat z) \leqslant \rho(\hat x,\hat y) + \rho(\hat y,\hat z)\,.
\end{equation}
����� ��������� ������������ $X$ ��������������� � $\overline X$
�� ������ ������ � ������ �������. � ���������, ���������� ����� ������
($x$) � ����� ($\hat x$) �������, �������� ������ ��� ���� �����������, ����
$\rho(x,\hat x)=\lim\rho(x,x_n)$. �� ������������������ $\{x_n\}$\,,
�������������� ����� ����� $\hat x$\,, �� ����������� ��������. �������������,
\begin{equation}
\label{}
\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,\hat x) \
 = \ \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\rho(x_n,x_m) \ = \ 0\,,
\end{equation}
� ����� ����� $\hat x$ ����������� (� ������������
$\overline X$) �������� ������������������ ����� $x_n$ �� $X$. ���
���������� ��������� $X$ � $\overline X$. �������� ��������, ��� �����������
����������� ������������ $\overline X$ �����, �� ����, ��� ����� ����������
������������������ $\{\hat x_n\}$ ����� � ��� ������. ��������� $X$ �
$\overline X$ ��������� ��� ���������������� ������ �������
$\hat x_n\in\overline X$ ��������� ������ $x_n\in X$ ���, �����
$\rho(x_n,\hat x_n)<1/n$\,. ����� $\rho(x_n,x_m)\leqslant\rho(x_n,\hat x_n)
+\rho(\hat x_n,\hat x_m)+\rho(\hat x_m,x_m)$ ���������, ��� ��� ������� $n$ �
$m$ �������� $\rho(x_n,x_m)$ ���������� ����� ������ ����, � ������
������������������ �������������� $\{x_n\}$ �������� � ������ ��������� �����
$\hat x\in\overline X$. �����������
$\rho(\hat x,\hat x_n)\leqslant\rho(\hat x,x_n)+\rho(x_n,\hat x_n)$
�����������, ��� ������ ��� ����� � �������� �������� ������������������
$\{\hat x_n\}$\,.

�� ������������ ������ � � $\mathbb{R}^n$ ������ ���� ������ ������������
��������� ������������ (������� � �.\,�.)\,. � ����������� �������������
������ ���� ����������� �������� ����� \emph{����������} ������������ ���
������ \emph{��������}\,. ��� �������� ��������� ������������������ ���������:
���� ������� ������ ��������� �����������, �� ����� �������� ���� �������� ��
�����, �� ������� ��������. �� ������������ ��������� ������� ���
�������������� � �����������. �������� �������: ��������, � ������������
(� ������ -- �����������) ������������ $l_2$ ��������� �������� ����������
���� $|\mathbf{x}|\leqslant1$ �������� � ����������, �� �����������.
��� ��������� ����������� ������� ������ ������ �������: �� �������� ������
����������� ��������� ����� ����� ���������� �����; ����� ������������������
�� �������� �������� ���������������������, ������� �� ��� ������; �����������
����� �������� -- �������, � �.\,�.

������� ������ �� ���� �����������. ���������� ��������� \emph{�����������}
������������ $S$ ����� �������� $M$ � �����������, ��� �� ���� �� ����� �����
�������� �� �������� ���������� ������ ��� $S$. ����� � ����� �����
$x\in M$ �������� ����������� $U_x$\,, ���������� �� ����� ��� �������� �����
����� ��������� $S$. ������������ \emph{����} ���� ������������, ��������,
��������� $M$. �� � ���� ������������ $M$, ��������� \emph{��������} �����
���� ������������ ���� ��������� ��� ���������, � ������ ������ ��������
\emph{���} ����� ��������� $S$. � �� �� �����, ����� ����� ����� ���������
���� \emph{��������} �� ����������, ������ ������������ \emph{���������} �����
������������ ���� $U_x$\,. ���������� ������������ ����������, ��� ��
�������� ����� ����������� ��������� ����������� ����� ���������� �����.
������ ����� �������, ��� � ����� ������������������ ����� �������� ��������
���������������������, ������� �� ���� �������� ������. �������������, ���� �
���� ������������������ ������� \emph{����������} ����� \emph{���������}
�����, �� ����� �������� ����� ��������������� ���������� �����, � ���� �����
��������� ����� � ������������������ �������, �� ���� �� ���� �� ���
����������� ����������� ����� ��� -- ��� � ����� ��������.

������� ������, ��� ����� �������� $M$ ��� ����������� ����������� ���� ����
�������. ��������� ���� ����� ����� $M'$ � ������� ����� ��� ��������
��������� �����������. �� ��������� ������� (� ���� �������������) � ���������
$M$; �� ����� ��������� ��������, ������� �� ��� ���� �������� �����.
����������� ��������� ��������� $M$ ���������, � ������ �� ������
(�� ������������� -- ��������) ��������� �� ��������� $M'$, ��� �
���������� ��� ������������.

� ���������� ������ �����, ���������� ��������� ������� ������ �������������
�����������. ������������� ����� ��������, ���������� �������������
������������ �� �����������, ��������, �������, �� ����������.
� ����� �������, �� ������������ � ��������� ���
�������� �������, �� � ������ -- ��������� ����� �������, �������������
����������� ���������������� �������� ��������������� ��������. ������
����� �������, ��� ������������� ������������ ���� ����� ���������
(�����������, � ����������� ����������)\,. ������ ������������� ������������
������ �������� \emph{����������}\,. � ������� �� �������������� ������, �� ��
���� ������������� ������������� ���������� \emph{�����} -- �������
����������� �������� ���� ������� ������� �������� $\{\mathbf e_i\}$\,, ��
������� ������ ������ ������� ������������ \emph{����������} ����������� �
����� (��� ���������� �� ����� ����������� ���) ����
$\mathbf x=\sum_i c_i\mathbf e_i$\,. ����������� �������� ������� ������
�������� \emph{���������������} ������������ -- ������������� � ��� ��������
�������� ������������. ��������, ����� ����� ��������� ����� ������������
(��������, ��������� �������� �������� ���������� �������� �������� �
������������� ��������������: ��� ����� ����� ������ ����� ����������������
����� ������, � ��� � ��������, ��� ���������� ������� ��������� ����� ���
������������)\,. �������� ����������� � ������������� ������������, ������
������, �������: �� ��������������� ������� ������ �� �������� (�����������
����� �������� � ��������� �����)\,. ������ ��� ����������� ������������ �
������������ ������. �������������, ����� � ������������ ������������ $H$
������� ������� ������� �������� $\{\mathbf e_i\}$ �����, ��� ������ ������ ��
$H$ ����� ���� � ����� ��������� ��������� ��������� ��������� ������������
�������� $\mathbf e_i$\,. ��� ������ �������� �� ����� ������� ��� �������
������� ����������� � �����������������. �����, ��� �� �����, ��� �� ��������
������� $H$. ��� ����������� ������������ ��� ����������� ����, ��� � $H$
�������� ������ $\mathbf x\neq\mathbf 0$\,, ������������� ����
$\mathbf e_i$\,. � ���� ��������� ������������� ���� ������ �������� ��������
��������� ������������������ �������� ���������� �������� $\{\mathbf e_i\}$\,,
������ ������ �� ���� ���������� ������ $\mathbf x$ �����������.
�� ������������� ���������� ������������ �������, ��� �� ����������� ��� ����,
�� ���� ����� ����. ������������ ����������, ��� ������� $\{\mathbf e_i\}$
�������� ������� $H$ � ������ ���������� (\ref{Hilb})\,.

\newpage
%\vspace{.7cm}

\begin{center}
\large \textbf{4. �������������� ������������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

������������ ���� ������������� ���� ����� ����� ������ ����������� ���
\emph{��������������} ������������, ���������� (�������, ���������) �������
�������� ������� �� ������������� ������, �������� �� ���������
���������. � ������������� ���� �������� ����� ���������� �����, ��� �������,
������� $[a,b]$ ������������ ������. �������������� ������������ ����������
������������ �������� ���������� �� ������ �������� ����������� ��������
������� � �� ��������� �� �����. ���, ��������� $C[a,b]$ ����
\emph{�����������} �� ������� ������� �������� ������������� �������������
� ������ $||f||_�=\sup|f(x)|$\,. ���������� �� ����� ����� ����������
\emph{�����������} �����������: $\sup|f_n(x)-f(x)|\rightarrow0$\,.
��������� ���� �������, \emph{�������������} �� �������, ���������� ������
$||f||_1=\int_a^b dx\,|f(x)|$\,, �������� ������������� ������������ $L_1$\,.
� ��� ��������� $L_2$ ���� \emph{����������� �������������} �� �������
����������������� ������� � ������ $||f||_2=(\int_a^b dx\,|f(x)|^2)^{1/2}$
����������� ������������ �������������.

��� ��������� �����������, ����������� ������������ ������� ���������,
������� ������������. �� �������� � ����� (� ���������� �������) ������
���� � ��������������, �������� �� ��� ���� ����������� ����� �����������
������. ���������� ���� 0 ���������� ����� ������������ �����
(������������ ������)\,, ������� ����� ���� ������� �������� �������� (���
����������) ����� ������ ����� ��������� �����. ����, ��� �������� (� ����
�������) ��������� ����� ����� ���� 0. ��������, ����� ���� ����� ���������
���� ������������ ����� �������. �� ������ � ��������� ��������� ���� 0.
���� �����-�� �������� ����������� ����� �����, ���� �����, ��������� ���� 0,
�� �������, ��� ��� ��������� \emph{����� �����}\,. ��������,
������������������ $f_n(x)$ �������� � ������� $f(x)$ ����� ����� ��
�������, ���� ���������� ���������� $f_n(x)\rightarrow f(x)$ ����� ����� ���
���� ����� $x$ ����� �������, �� ����������� ��������� ������� ����.

������, ������� \emph{����} -- ���������� ���������������� �����,
��������������� ������� ������������ ����� -- �������� ������� �����, �������
� �.\,�. ������������ ���� ����� ������ \emph{���������} ���������. ��
������������ ������ �������� ����������� ����� �������������, � ��� ����� �
������ ������������ ��������� (�� ��-���� �� ���)\,. ��� ����� ����������
�����, ��� ���� ������� (��� � ���������) ����� ��� �����, � ��� �����
�������� � ��������� ��������� �������� (��� � �� �������� ��� �������
����������� � �����������), ������ ���� ��������� ��� �������� �����������
���������������� ��������� �������� ����� ����� �� ���.

����������� \emph{��������� ������}, ��� ��������, �������� � ���������
������� $[a,b]$ �� ����� ������ ����� ����� $\Delta_i$ � ���������� �������
����� $\sum_i f(x_i)\,\Delta_i$ (����� $x_i$ ����� � $\Delta_i$)\,.
�������������� �� ������ ����������� ������������ �������, ����������� �����
�����. ����������� ��������� ���� ����� ��������� \emph{�������������� ��
������}\,, ���� �������� ������� � ��������� �� ��������� ����� �����
$\Delta_i$ ��� �� ������� �����������, � ������� �������� ������� $f(x)$\,:
\begin{equation}
\label{Leb}
\int_a^b\!dx f(x) = \lim \sum_i f_i\,\mu_i \ \ \ \ \ \ \ \ \
(f_i \in\Delta_i)\ ,
\end{equation}
��� $\mu_i$ -- ���� ��������� $\Delta_i$\,, �� ���� ��������� ��� �����
������� $[a,b]$\,, ��� ������� $f(x)\in\Delta_i$\,. �� ����� �����������
�����, ��� �������� ������ �� �������, ������������� ���� �� ��������� ����
0, ��������. ��� ������������� ��
������ ������� ������������ � �� ������, ������ �������� ���������� ���������.
�� ����� ������������� �� ������ ������� (�� ��� �������� \emph{����������})
����������� ����: ����������� ����� ������������ ������� ��������.
� �� �� �����, ��������� ������� � ��������� ������ ������ � �����������:
����� ��������� ������� ����� ���� ������� ����������� ����� �� ���������
�� ��������� ����� ������ ����� ����. ������������� \emph{�����������} �������
�������� ������������, �� � ����� ���� ��� �� ���������. ������������
��������� ������ �������� ����� ����� ������� ����������� ���������� ���������
��� ������ ��������� � ���� �������� ��������. � ���������� �� ����� ��������
��� ��������� � ������ ������, �� �������� ����� ����.

�������� � ������������ �������� �������������� �����������. �������������
������������ $C[a,b]$ �������� ������, ��� ��� �������� ���������� ����������
������������������ ����������� �� ������� ������� �������� ���� �����������
�������. ��� ����� �������� �������������. ��������������� ������� �������
��������� ��������, ��������, �������� � ������������� �������������� � ����
������� ������������ � ����������� ����������� ����������� �������
������������. �������, ������, ��� ������� ����������� ������� �������
$\{x^n\}$ ($n$ ����� ���������������)\,, ����������� ��� ������� ���������,
�� ����� ���� ������� ������������ $C[a,b]$\,, ��������� ����������� �
(���������� ����������) ��������� ��� ����� ������ ������������� �������, � �
$C[a,b]$ ����� ����� �����������.

� ������������ ����������� $L_1$ � $L_2$ ����� ������ �������� ���� ������.
�� ������
�������������� ������������ �������, ��� ������� ����� ������ ����� ������
������� ������. ��, ��� ���������� ����, �������� �� �������, ������ ����
����� �����, � ��� ����� ����. ��� ������, ��� \emph{���} ����� �������
����� ������� �����. ����� �����: ������� �������������� (��� ������
�����������) �������, ����������� ����� �����. ����������, �� ���������
���������� ����������� $L_1$ � $L_2$ ����� \emph{������ ������������� �������}
(� $L_1$ -- ���������, � $L_2$ -- ����������� �������������)\,. ��� ����
������������ ����� � ������������; � ����� ����������� ������� (� ������ �
��������) �������� ������� ������������. ����������, ��� ������������ $C[a,b]$
(��������� �� ����������� �������)\,, ������ �� ����� $||\,.\,||_�$\,,
\emph{�� �����} �� ������ $||\,.\,||_1$ � $||\,.\,||_2$\,. ��� ������������
�� ���� ������ ��� ��� � �������� $L_1$ � $L_2$\,. ������ �������� ��������
������������ � $L_1$ � $L_2$ �������� ��������� ����������� ������� � ��������
������ ��������. ������� ��� ��� ������������� ������������ � �������� ��
������ $||\,.\,||_1$ � $||\,.\,||_2$\,, ������� ����� $L_1$ � $L_2$\,.
��������� ��������, ��� � �������� ���� ���������� ������������ $L_1$ ����
������������� �� ������ ������� ��������� ��� ������-���� ���������� (�
�������������) ��������� ������������ ��������������, ���������
����������� � ����������� ������� ����� ������������� � �� ������.

������������ $L_2$ �������� �� ������ �������������, � ������������, ���������
� ��� ����� ������ ��������� ������������:
$(f,g)=\int\!dx\overline{f(x)}g(x)$\,. ����
����� ������������� ����� � ���� $\mathbf{e}_n=e^{inx}$, �� ��� (\ref{Hilb})
����� �������� ���������� ������� � ����������� ������������������ ��� �����.
������� ������ ������ ����� �� ��������������� ������� �����-�� �������������
���������, � �.\,�. � ����������, �������� ������������� ����
��������� �������������� ����. ��������, ��� �� ����������� ���������� �������
���������� �� ����� ������ $||\,.\,||_1$ � $||\,.\,||_2$\,. �� �����������
������ ��� $L_2$\,, �������� ���
$|\!\int\!\overline{f(x)}g(x)|^2\leqslant\int|f(x)|^2\int|g(x)|^2$,
��������, �������
$g(x)=1$\,, ������ $||f||_1\leqslant\sqrt{b-a}\,||f||_2$\,. ������,
���������� �� ����� $||\,.\,||_2$ ������ �� ����� ���������� �� �����
$||\,.\,||_1$\,. ����� ������������� ��������� ��������� ��������� ����� ����
�����������: $C[a,b]\subset L_2\subset L_1$\,.

\newpage
%\vspace{.7cm}

\begin{center}
\large \textbf{5. �������� �����������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

��� ��������, �������� ������� �� ������������� ��������� ������������ $V$
�������� �������� ������������ $V^*$ ����� �� �����������, ������� ����������
\emph{�����������} ��� \emph{��������} � $V$. � �������������� �������������,
���������� (���������) ������� �������� �������, ������� �������� ��������
������������ ������������ �� ��������� ���������, � \emph{���������
�������������}\,. ����� ��������� ���� �������� � ��������� �������������
(� ������ ����� ���������������� ��������) �����������. ����, ��������
���������� $p$ -- ��� �������, �������������� ������� �������� $f\in V$
��������� ����� $<\!\!p\,,f\!\!>$, ������ $<\!\!p\,,\alpha f+\beta g\!\!>=
\alpha\!<\!\!p\,,f\!\!>\!+\,\beta\!<\!\!p\,,g\!\!>$\,. ���� $V$ --
�������������� ������������, �� ����� �������� ����� ����, ��������,
$<\!\!p\,,f\!\!>=\int_a^b dx\,p(x)f(x)$\,. ������������ �������� ��������
������������ � ��������� �� �� ����� ������ ��������� ���� ��������
������������ �� $V$ ��������� ������������� (��������, ����������������,
���� ������� ���� $V$)\,.

����� ��� �������������� ������� �������� ������������ $V$ ����������������
� �������������. � ���� ������ ��������� ������� ���������� �����������
������������ $V^*$ ��� ������������ �� ����, � ������ \emph{�����������}
�������� ������������ �� $V$. ��� ������, ������������� ����������� $p$
��������, ��� ���� ������������������ $\{f_n\}$ ��������� �� $V$ �������� (��
�����) � ���������� $f$, �� �������� ������������������ $<\!\!p\,,f_n\!\!>$
�������� � $<\!\!p\,,f\!\!>$\,. ����� ����������, ����� ��������� ���
�����������, �������� � ��� ���� ������������������, ����������� � ����:
\begin{equation}
\label{cont}
||f_n|| \ \longrightarrow \ 0 \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \
<\!\!p\,,f_n\!\!> \ \longrightarrow \ 0\,, \ \ \ \ \ p\in V^*\,.
\end{equation}

���������, ��� ������������� �������� ������������ ������������ ��
��������������. ���������� $p$ ���������� \emph{������������}\,, ���� �����
����� ����� $M<\infty$\,, ��� $|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|\leqslant M\,||f||$
��� ���� $f\in V$, �� ���� ���� ���������� ���������
$|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|/||f||$ (�������, ��� �������� ����� ��������
$|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|$ ��������� ������ ���� $p\equiv0$)\,.
�� ����� ����������� �����, ��� ����� ������������ ���������� ����������, ���
������� $||f||$ ������ �� ����� ������� $|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|$\,. �������
������ �������������� ���������� $q$. �������� ������������������ $\{f_n\}$
�����, ��� $|\!\!<\!\!q\,,f_n\!\!>\!\!|>n\,||f_n||$\,. �� ����� ��������
$g_n=f_n/(n\,||f_n||)$ �������� ������������������, ����������� � ����,
��������� $||g_n||=1/n$\,, � �� ����� ��� $|\!\!<\!\!q\,,g_n\!\!>\!\!|>1$\,.
�� ��������, ��� �������������� ���������� �� ����� ���� �����������.

� ����������, ���� �� ��������� ���������, ��� ������ `����������' �����
���������� ����������� �������� ����������, �� ���� ������� �� $V^*$.
�� �������� � ��������� �����������, \emph{�����} ����������� $p$ ��������
��������������� $\text{Ker}\,p\subset V$, ��������� �� ���� ��� $f\in V$, ���
������� $<\!\!p\,,f\!\!>=0$\,. � $n$-������ ������������ ����������� ����
(���������) �������� ������� �����, ��������, $n-1$\,. ������� ���� ���������
�� ���������������� ������: �������, ��� ����������� ������-������������
$V/\text{Ker}\,p$ ����� 1 ��� ������ ����������� $p$\,, �� ������� ����
������������. �������������, ��������� ������ ������-������������ ��������
������ (������ ���������) ���� $[g]=g+\text{Ker}\,p$\,; �� ������
������������� ������� ������ ���������� $p$ ��������� ���� � �� �� ��������.
���� $p$ �� ������������� ����, �� ���������� ��������� ����� $[g]$\,. ��
����� ����� ������ ����� ���������� �� ���� ����������� �� ��������� �����.
������� �� ����������, ��� ����� ������� $f\in V$ ���������� � ����
$f=h+\alpha g, \ h\in\text{Ker}\,p\,, \ <\!\!p\,,g\!\!>=1$\,. �� �������������
$p$ ������� ����������� $\text{Ker}\,p$ (��� � ������ ������ ������ ��
$V/\text{Ker}\,p$)\,.

��� ��� ���� ��������� �������������: ���� ���������� �����
���� �� ������� ������������ ������������ $V$, �� �� ������������ ����� ���� �
�� ���� $V$ (��������������, �����������, ����������� �� ������� ������������,
������ �����)\,. ��� ������, � ���������, ��� ��� ���������� ������������ $V$,
����� �� ��������� $V$ �� ��� ��������� $\overline V$, ����� (�����������)
������������ �� ����������, � $\overline V{}^*=V^*$.

������������� ���� �������������� ����������� ������������ ����� ������������
��� ����������� $V^*$ � ������������� ������������, �������
\begin{equation}
\label{|p|}
||p|| \ = \ \sup_{f\neq0}\frac{|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|}{||f||} \
 = \ \sup_{||f||=1}|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|\,.
\end{equation}
������ ������� $|\!\!<\!\!p\,,f\!\!>\!\!|\leqslant||p||\cdot||f||$\,.
�������� ������ (\ref{norm}) ����������. ���������, ��� $V^*$ �����������
������ ������������� ������������� ���������� �� ������� ���������
������������ $V$. �������������, ����� $\{p_n\}$ -- ����������
������������������ ������������. �����, ����� $|\!\!<\!\!p_n\,,f\!\!>
-<\!\!p_m\,,f\!\!>\!\!|\leqslant||p_n-p_m||\cdot||f||$\,, ��������
������������������ $<\!\!p_n\,,f\!\!>$ �������� � ���������� �������
$<\!\!p\,,f\!\!>$\,. ���������� ������������ ����� ������� ����������� $p$
��������. ��� �������������� ������� �� ���������� �������������� �����
$<\!\!p_n\,,f\!\!>$ �� ��������� $f$ � ��������� ������.

��� ���������� ������������ ������������ $V^*$ �� ������������ ����
������������ �������������. � ���� ����� ������� ������: ���������� ��
����� ����������� ������, � ���� ��, �� ��������� �� �����? �� �������������
(�������������) ������������ ���������� ����� �������� ������� (������� �
������������ ������ ������� ��, ������� � �������� ��������� ������������)\,.
� ���������������� ������ �������� �� ����� ������, �� ����� ���� �����������:
�� ������������� ������������ $V$ ������ ���������� ����������� ��������
�����������, � �� ���������� ����������, ��������, ��� ����, ����� `��������'
����� ��������� ������ �� $V$ �� ���� (� ������, � `���������' ��� ��������
�������)\,: ��� ������ $f\neq0$ �������� ���������� $p\in V^*$ �����, ���
$<\!\!p\,,f\!\!>\neq0$\,. ������ ���� ���� ������������ �� $V^*$ �����������
������ ������������, ����� �������� ���������� ������������������ ��
������������. ���, ��� ��������� ������������������ $\{f_n\}$\,, �������
\emph{�� ��������} � ������������ $V$, ����� ���������, ��� ��������
������������������ $<\!\!p\,,f_n\!\!>$ �������� ��� ������ $p\in V^*$. � �����
�������� ������� � \emph{������ ����������} ������������������ $\{f_n\}$\,.
����, ��� ������� ���������� (�� �����) ������ �� ����� ������. ������� ���
��������� ������ ��������� (������� ����-������)\,: ����������, �������� ��
��������� ��������������� �������������� ������������ ����� ���������� �� ���
������������ � ����������� �����.

� ������������ ������� ������ ������, ���� `���������' ������������ �������
����� �� ������ �� $V^*$ � ������������, �� ���� ��������� ��� �������
������������, ��� ��� ����������, ��������, � ������������ ������������, ���
����� ������ $\mathbf x$ ���������� ������������, � ���� (\ref{Hilb})\,,
������ \emph{�������������� �����} $x_i=(\mathbf e_i,\mathbf x)$\,. ��������,
��� ��������� ������������, ����� ����������� ������ (\ref{neq})\,, ����
����������� �������� ���������� �� ����� ����������.
�����������, ��� ������ (����������� ��������) ������������ � ������������
������������ � ���: ��� ������� $p\in H^*$ �������� ����� ���� ������
$\mathbf p\in H$ �����, ��� $<\!\!p\,,\mathbf x\!\!>=(\mathbf p,\mathbf x)$ ��� ������
$\mathbf x\in H$\,. ������ $\mathbf p$ ����� ���������. ������� � (����������)
������������ $(\text{Ker}\,p)^\bot$ ������ $\mathbf q$\,, ������� ���������
�����: $(\mathbf q,\mathbf q)=|\mathbf q|^2=1$\,. ����� $<\!\!p\,,\mathbf q\!\!>=\alpha$.
�����, ��������, $\mathbf p=\bar\alpha\mathbf q$\,. ����, � ������������
������������ $H^*\!\simeq H$\,, �.\,�. ���� ������������ (����� ���������
������������) ����� �� ���� ���� �������. � ������������� �������������
�������� ���������� ��������: ����������� � �����-�� (�� ������ �� ������)
���� ������������ ���������� ���������� ������������.

\newpage
%\vspace{.7cm}

\begin{center}
\large \textbf{6. �������� ����� � $\delta$-�������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

� �������������� ��������� ���������� ������� ������� ��, ����������,
����������� ��� ��� ������ ���������� � ��������������� ��������������: ���
�������� �������� ���������� ����������� $L_1$ � $L_2$ ����� ������ �������,
������������� ���� �� ��������� ���� 0. ��� ��������, ��� �������� ������
�����������, ���� ���� �� ���������� �������� �� ���������, ��� �� �����
������������ �������� � ������ ����� ������� �����������. �� ��������� ���
�������� �������� ������� �� ����������� ������ � ������ �������������
�����������. ��� ����� ������������ ��������� ��������������� ������ �������
�� ������� �� ���������� � ���������� ������,
������� ���������� ������������ ���������� �� ���, �� ���� ������������ ��
��������������� �������������. ��� ��������� ������ �������� ��� � �������
���������� �������. �� ������ ������ �� ����� ������ -- ����������
$\delta$-������� ������ -- ����������, ������ ����� �����������, ��� �
����������� ��������� �����, � ������������ �������� �� � ���������.

������ � ����� �����. � ������� ������ -- ��� ����� ���� ���� (\ref{Hilb})\,,
� �����, ������������ ��� ������ -- ��� ���������� ������� �� $L_2[-\pi,\pi]$
�� ������������������� ������ $\mathbf{e}_n=e^{inx}$ � ������ $n$\,:
\begin{equation}
\label{Fs}
f(x) \ = \ \sum_n f_n\,e^{inx}\,, \ \ \ \ \ \ \ \ \
f_n \ = \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!dx\,e^{-inx} f(x)\,.
\end{equation}
�� �������� ������ $1/2\pi$ � ����������� ���������� ������������, �����
������� ����� �����������������:
\begin{equation}
\label{orba}
(f,g) \ = \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!dx\overline{f(x)}\,g(x)
\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ (\mathbf{e}_n,\mathbf{e}_m) \
 = \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!dx\,e^{ix(m-n)} \ = \ \delta_{mn}\ .
\end{equation}
���������� ���� (\ref{Fs}) ���������� �� ����� ������������ $L_2$\,. ������ ��
�������� �� ��������� � ��� ����� ������� �������, � ���,
��� �������, ���������� ���������� ���� ����������� ���������� ���� �����.
�� ����� ������ ��������, ��� ��� (\ref{Fs}) ��� ����� ������� $f\in L_2$
�������� � $f(x)$ ����� �����. ��� ����� ��� ������������� (� �������� $2\pi$)
���������� ���������������� ������� �������� � ��� ����������. �����
����������� ������� ���������� ������������ ������ �����-��������������
$f_n$\,, �� ���������� ���������� ���� (\ref{Fs}) �� �������������.

������������ \emph{�������������� �����} (��� ������ \emph{�������� �����})
�������� ��� �������, �������� �� ���� ������, � �������� ��� ������������
��������� ���� (\ref{Fs}) ����� ������ ����� �� ����������� (��������)
��������� ����� �� �������� �� ����������� ����������:
\begin{equation}
\label{Fi}
f(x) \ = \ \int\!dk\,e^{ikx}\tilde f(k)\,, \ \ \ \ \ \ \
\tilde f(k) \ = \ \frac{1}{2\pi}\int\!dx\,e^{-ikx} f(x)\,.
\end{equation}
(������� ��������������, ��� �� ������� ����, ��������������� �������
$\pm\infty$)\,.
��, ��������, ����� �� ������� ��������� ����� �������������� �����������.
����� ����, �� ����� � ������ �������� �� ������� �����. ��� �������������
���: �������� �����, � ������� �� ������������ ����, �� �������� � �����������
������������ (���� ������ $L_2$ �� ����������� ������ ����������)\,. ���� ���
���������� ����� �����, ��� ��� ���������� ���������������� ������� $f(x)$\,,
���� ��� ��� � ������������ �� ������ �� ���� ������, ��� ������� (\ref{Fi})
����� �����.

���������� ����������� ������������� ���������� ���������� � ����� �����
����������� ����� ������������� ���������������, ������� �� ���������������
�� ������� ���������: ��� ����� �� ��� ����������� (\ref{Fi})\,,
����������������� ������� $f(x)$ �������� �������
��������� �� \emph{�����-������} $\tilde f(k)$ �� ������ $ik$\,:
\begin{equation}
\label{f'}
f'(x) \ = \ i\!\int\!dk\,e^{ikx}\,k\tilde f(k)\,.
\end{equation}
��������� ����� ��������, �������������� ����� ����������� �������������
������� ������������ ������ ������� ���������������� ���������, ����� �� �
��������������. ������� ��� ���� ����� ������������� �����������.
\emph{��������} ���� ������� $f(x)$ � $g(x)$ �������� �������
$(f\star g)(x)=\int dy f(x-y)\,g(y)$\,. �� �����-����� ���� ������������
�����-������� ���� �������, ����������� �� $2\pi$\,:
\begin{equation}
\label{conv}
\int\!dy f(x-y)\,g(y) \
 = \int\!dy\,dk\,e^{ik(x-y)}\tilde f(k)\,g(y) \
 = \ 2\pi\!\!\int\!dk\ e^{ikx}\tilde f(k)\,\tilde g(k)\,.
\end{equation}

�������� ������ � �������� �������� (\ref{Fi})\,. ���� ���������� ������ ��
��� ������ ��� ����������� $\tilde f(k)$\,, �� ����� (\ref{Fi}) �������� �
���������� �����������:
\begin{equation}
\label{}
f(x) \ = \ \frac{1}{2\pi}\int\!dk
\int\!dy\ e^{ik(x-y)}f(y)\,.
\end{equation}
��������� �������� ��� � ������ ����, ������� ������� ��������������:
\begin{equation}
\label{del1}
f(x) \ = \,\int\!dy\,\delta(x-y)f(y)\,, \ \ \ \ \ \ \ \
\delta(x) \ = \ \frac{1}{2\pi}\int\!dk\ e^{ikx}\,.
\end{equation}
������, ������������ ����� $\delta(x-y)$\,, ������� ������ ���� ������������
������� ������� $\delta_{mn}$ �� (\ref{orba})\,. � ���������, ��� �����������,
������ �����, �����������, ��� ������ �������� � (\ref{del1}) �� ����������
�� ��� ����� $x$\,. ������ ���� ���� ������������ ������� ��������
������ �������. �������� � ������� � ������ �������. ������
$\delta_{mn}$ -- ��� ��� � ��������� ������� ���������� ���������. �������
$(Kf)(x) = \int\!dy\,K(x,y)f(y)$ �� ������ (�����) ������ �����
$K(x,y)$ ������ ��������� \emph{�������� ������������ ��������} �
�������������� ������������, ����������� ������� $f$ � $Kf$.
�������� (\ref{del1})\,, ���� $\delta(x-y)$\,, ���� �� ������������,
���� �� ����� \emph{����������} ���������. �������������, �� ����:
��� ���� ��������� ������������� ������ ����� ���������, ���������
���������� ��� ������������ ���� ��� ������� ������� �� �������.

� ��������� ����� ����� ��������, ��� ����� ����� ���� ������ �� ����
������������ ��������� ������� �������, � ����� ��� ����� ���������, �
������� ��� ��� ���� ����. � ���������, � ������ ���������� \emph{����������
�������} ������� ������� ����� � $\delta$-�������, �������� �������������
(\ref{del1})\,, � �� �������������� �������, ���������� � ����� �����
(\ref{Fs})\,,
\begin{equation}
\label{comb}
\frac{1}{2\pi}\sum_n\,e^{inx} \ = \ \delta_{2\pi}(x) \
 = \ \sum_n\,\delta(x+2\pi n)\,, \ \ \ \ \ \ \
\int_{-\pi}^{\pi}\!dy\,\delta_{2\pi}(x-y)f(y) \ = \ f(x)\,.
\end{equation}
�� ��������� ������ ���� ����� ������� �������� ������ �������:
$\delta$-�������, ���� � �� ���������� � ������� ��������� ��� ������� ������
���������, ��� �� �����, ������ ����������� ��� ���� ���������, ���������
�������� ������ ������. �� ����� �������������� ����� ��� ��������, ��� �� �
������ ������ ������ ������� �� �� ��������, � ����� �������� ������
������������� ���������� \emph{�����������}\,.

\newpage
%\vspace{.7cm}

\begin{center}
\large \textbf{7. ���������� �������}
\end{center}

\vspace{.2cm}

������� ����������� $\delta$-������� (\ref{del1}) ��������� �������
������������� � ��� ��� � ����� (������) �����-������� $\delta(x)$, �������
����� ������� ������ ���� ��� ���� $x\neq0$\,, �� ���������� ��������� ����
���� �������� ��� $x=0$\,. ������ �����������, �������, ����������� ����������
��� �������� ������ � $\delta$-�������� �� ������ ���������� �����������.
� �������������� �� ����� ������ ����� ����, ��� $\delta$ �� ���� ������� �� �
������� ������, �� � ����������� -- � ���� ����������� $L_1$ ��� $L_2$\,. � ��
�� �����, ���������� �������������� ��������� $\delta$-������� � ������
�������� �����-������� ���������� � �������� � ����������. ����� ��������
\emph{���������� ��������} (��-��������� distribution) ������ ��������
����������� ���������� $f$ �� ��������� ���������� ��������� ��������
������������, ��������� �� \emph{��������} ��� \emph{�������} �������
$\varphi(x)$ (��� ��������������, ������ ������������� ���������; ����������
�� ����������� � ����������� ������ ���� ��������)\,. ��������� (�� ������ ��
���) �� ���� ������������ ��������� ������������� � ����
\begin{equation}
\label{gen}
<\!\!f\,,\varphi\!> \ \ = \ \int dx\,f(x)\,\varphi(x)\,,
\end{equation}
��� $f(x)$ -- ������� � ������� ������ (��������, �� $L_1$)\,. �����
���������� ������� (�� ��������, ����������� � ��������) ����������
\emph{�����������}\,. ��� ��������� ������ (\ref{gen}) ���� ������������, ��
����� �������� ��������; ������� ��� ��� ��������� ���� � ������ �����������
���������������� �����������. � ���������, $\delta$-������� �� ��������
����������. ��� ������������ ���:
\begin{equation}
\label{del2}
<\!\delta\,,\varphi\!> \ \ = \ \varphi(0) \ \simeq \
\int dx\,\delta(x)\,\varphi(x)\,.
\end{equation}
��������� � ������ �������� �� (\ref{del1}) ���������� �������� ������������
������ -- ��� ��������� � ������ ������ ������ ����� ����� �������������������
��������� ���������� ������� $\delta(x-y)$\,. � ���������� �� ����� ���������
��� ������ -- ������������ � ��������� -- ��� ������ ��������, ���� � ����
��������� ��������.

����� ������������ �������� ������� ��������� ���������� �������������.
� ����� �������, �� ������ ���� ���������� �����, ����� ����� `���������'
������� ������� (�����, ��������, ��� ������������ ������� ������� ����� ��
��������������� ����� � ��� �� ����������)\,, � � ������ -- ��� ������ ����
���������� ��������, ����� �� ����� ���� �������� ����������������. ��
����� ���� ��������� �������� ��� ������
����������� ������������ �������� �������: ������������ $\mathcal{D}$
���������� ���������������� \emph{��������} (�������� �� ���� ���� �
������������ �������) ������� � ������������ $\mathcal{S}$ ����������
���������������� �������, ��������� ������� ����� ������� $|x|^{-1}$. ��������
������� �� $\mathcal{S}$ �������� $e^{-x^2}$\!, � �� $\mathcal{D}$ -- �������,
������ ���� ��� $|x|\geqslant1$ � $\exp(1/(x^2-1))$ ��� $|x|<1$\,. ��������
������������ $\mathcal{D}$ � $\mathcal{S}$ �� �������� �������������� � ����
������������. ��� ����� ���������� ������� �������������� ��������� (� �������
�� �� ����� ���������, ���������� ���� ������ � �� ������������� ����������
������������� ���� ����������)\,, �� ��� ���� ��������� ����������� ����������
������������������� �������� ������� (� ������ � ������� �����������
������������) � �������� ��������� ������� ������������ ���� ����������.

������������ ������������ (���������� �������) �� $\mathcal{D}$ �
$\mathcal{S}$ ������� ���������� $\mathcal{D'}$ � $\mathcal{S}'$. ����������
��������� ��������� ���� �����������, ����� � ��� ����� �����������
������������ $L_2$\,, ��������� �� �������, ����������� ������������� �� ����
������:
\begin{equation}
\label{incl}
\mathcal{D} \subset \mathcal{S} \subset L_2 \simeq L_2'
\subset \mathcal{S'} \subset \mathcal{D'}\,.
\end{equation}
�������� $\mathcal{D'}$ ������ �������� ������ \emph{����������� ���������}\,,
� �������� $\mathcal{S}'$ -- \emph{����������� ��������� ���������� �����}
(tempered distributions)\,. � ��������� (\ref{incl}) ������, ��� ��������
$L_2'$ (����������� �� $L_2$) -- ���, ����������, ���� �������� $L_2$\,, ��
���� ������� �������. ����� �������, � ������������ $L_2'$ ���������
\emph{���} �������, ��������� \emph{�����} ����������� �������� ���������� ��
$L_2$ ���������� � ���� (\ref{gen})\,. ����������� ��������� � $\mathcal{S}'$
�������� (�������) �������, ���� ������� �� ������������� ��������� ���������
�������� $|x|$\,, � � $\mathcal{D}'$ -- �������, ������������� �� �����
��������. ��� ���� ����� �������� ������� � $\mathcal{D}$ �����������
����������� ��� ����, ����� ������ �� �� ������� �������, ������� ���������
����� �����, ��������� ���� � �� �� (����������) ���������� �������.

���������� � ������������� $\mathcal{D'}$ � $\mathcal{S'}$ ������������ ��
������� ������ ����������: ������������������ ���������� ������� $\{f_n\}$
�������� � $f$ ���� �������� ������������������ $<\!\!f_n\,,\varphi\!>$
�������� � $<\!\!f\,,\varphi\!>$ ��� ����� �������� ������� $\varphi$\,.
�������, ��� ��� ���������� ������� ������� ���������� (��������, �� �����
$||\,.\,||_1$) �������� � ���������� � ������ ���������� �������. ��
(\ref{incl}) ��������, ��� ���������� � $\mathcal{S'}$ ������ �� �����
���������� � $\mathcal{D'}$. �� ��������� � ��������� ���������� ���
������������ $\mathcal{D'}$ � $\mathcal{S'}$ �����. ����� ����� ��������, ���
����� ���������� ������� ����� ����������� ��� ������ ������������������
�������� ������� �� $\mathcal{D}$\,.

��������� ��������� ���������� ������� �������� ����������� ����������������
(� �������������) ����� �� ��� ����� ����� ���, ��������� �� � ��� ��
������������. ����� ������ ����������������� ���������� ������� ��������� ��
������������ �������:
\begin{equation}
\label{diff}
\int dx\,f'(x)\,\varphi(x) \ = \ -\int dx\,f(x)\,\varphi'(x) \ \ \ \
\Longrightarrow \ \ \ \
<\!\!f^{(k)}\,,\varphi\!> \ \doteq \ (-)^k <\!\!f\,,\varphi^{(k)}\!>
\end{equation}
(����� ����������� ����������� ������������������ �������� �������)\,. ���
���� ������ ���������� �������, ������������������ � ������� ������,
��������� ���������������� � ����������, ��������,
\begin{equation}
\label{theta}
\int dx\,\theta(x)\,\varphi'(x) \ = \ \int_0^\infty\!dx\,\varphi'(x) \
 = \ -\varphi(0) \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \theta'(x) \ = \ \delta(x)\,.
\end{equation}
����� ����, �����������, ��� ����� ���������� ������� (�� $\mathcal{S'}$)
����������� � ���� ����������� ��������� ������� �� ��������� ���������� (�
���� �����������) �������. ������� ��������� ���������� ������� �����
������������� ��� ����� (�����������) ���������� ������ ����������� �������, �
���������� �������� �������� ����������������� ���������� ���������� ������.
�������������� � ������������� ���������� ������� ���� ������ ����������� �
��������, � ��������� �� ������������ ���������, (�������-)�������� ���������
�� ��������� � �����������������. �������, ���������� ������������������
���������� ������� ����� (��� ������ ����������) �������� ���������������� �
�������������.

������ �� ��� ��� ������������ ���������� � ���-�� �������. ���, �� ��
����� �������� �������� ���������� ������� ���� �� �����. ��������, ���������
$\delta^2(x)$ �� ����� ������ -- ��� �� �������� ������� ���������� �������.
���������� ������� �����, ��� �������, �������� �� ������� (����������
����������������) �������, ���� � �� �� �����: ������� �� $\mathcal{S'}$
��������� �������� ���� �� ������� ���������� �����. ������� ���, ���
$\delta(x)f(x)=\delta(x)f(0)$\,.

�������� �� ��, ��� �������� � ���������� ������ � ���������� �������, ������
������, ���, ����� ������ �������������� �� ��������� ���� � �������� �������.
� ������, �������� ������� \emph{��������} ���������� ������� $f$
(������������ supp$f$) ��� ���������� ���������� ���������, ��� �������� ���
��������� ������ ����. ��� ������� (��������, ��������) ������� ���������
�������� ��������� ��������� �����, � ������� ��� ������� ������� �� ����.
�� ����� ���������� ������� ��� ����������� ���������������� ���: �������, ���
���������� ������� ����� ���� � �������� ������� $U$, ���� ��� ���������� ��
����� �������� �������, �������� ������� ������������ ������ $U$. �����
��������� ������ ���������� ������� ����������� ���������� � �����������
���� �������� ��������, ��� ��� ����� ����. � ����� ������� ����������
���������� ��� ���� ���������� �������, ��� ����������, ��� � �� ����������:
���� ����� $x$ ����� \emph{���} �������� �������, �� ��� ������� ����� ���� �
��������� ����������� $x$\,.

������ �������� ������� �� $\mathcal{S'}$ �������� ���������� ������� �
���������, ��������� ����� �� ����� ����� (��������, �� ����� $x=0$)\,.
�������, ��� �� �������� �����������. � ����� ������ ��������� $\delta(x)$ �
����� �� �����������. ��� ����������, ������ ������� � ���� ������ � ���:
����� ���������� ������� � ������������ ��������� ����������� ��������
����������� ����������� ��������� ������� �� $\delta$-�������.

�������������� ����� ���������� ������� �������� ����������� �������� �
������������ $\mathcal{S'}$\,. ���� � ���, ��� ��������������� ������������
�������� ������� $\mathcal{S}$ ����������� ���������������� (\ref{Fi}) ���� �
����, ������ �������-����������. ����� $\varphi\in\mathcal{S}$ -- ��������, �
$f\in\mathcal{S'}$ -- ���������� �������. �����
\begin{equation}
\label{}
\int dx\,f(x)\,\tilde\varphi(x) \
 = \ \frac{1}{2\pi}\!\int dx\,dy\,e^{-ixy} f(x)\,\varphi(y) \
 = \ \int dy\,\tilde f(y)\,\varphi(y)\,.
\end{equation}
���� ���� ��������� ��������������
����������� �������������� ����� �� �� ������������ $\mathcal{S'}$\,,
\begin{equation}
\label{Fi2}
<\!\!\tilde f\,,\varphi\!> \ \doteq \ <\!\!f\,,\tilde\varphi\!>\,;
\end{equation}
�� ��� �������������� ����� ����� ����������� �������-�����������
������������. � ���������, ������ ��������� � (\ref{del1}) ������
���������������� ������ ������: �����-������� ������� � $\mathcal{S'}$
�������� $\delta$-�������, � ��������. �����-�������� ����������� ��
$\delta$-������� �����, ��������, ������� $x$\,. �������, ��� ������������
$L_2$\,, ��������� � $\mathcal{S'}$ �������� (\ref{incl})\,, ����� �����������
�����-��������������� � ����:
\begin{multline}
\label{Pars}
\int dx\,|f(x)|^2 \
 = \ \int dx\,dp\ dq\,e^{ix(p-q)}\,\tilde f(p)\,\overline{\tilde f(q)} \ \\
 = \ 2\pi\!\int dp\ dq\,\delta(p-q)\,\tilde f(p)\,\overline{\tilde f(q)} \
 = \ 2\pi\!\int dp\,|\tilde f(p)|^2\,.
\end{multline}

������� ���� ����� � ����� ������� � ������� $\delta_{2\pi}(x)$ ��
(\ref{comb}) -- ��� ���������� \emph{�������������} $\delta$-\emph{�������}\,.
��� �������� ���������� �������� �� $\mathcal{S'}$, ���������
\begin{equation}
\label{comb2}
\int dx\,\delta_{2\pi}(x)\,\varphi(x) \
 = \ \sum_n\int dx\,\delta(x+2\pi n)\,\varphi(x) \
 = \ \sum_n\,\varphi(-2\pi n)\,,
\end{equation}
� ����� �������� �������� ������� $\varphi$ ��� ������ ������ ���������. �
������, �������� (� ���������� ������, �.\,�. � ������������ $\mathcal{S'}$)
� ��� $\sum_n \exp(inx)$, ������� � ������� ������, �������, ����������
(�������� ������ ��������� (\ref{comb}) �������� ���������� �������������
������� $\Phi(x)=\sum_n \varphi(x-2\pi n)$ � ��� �����)\,.
��� ����� �� (\ref{comb2})\,, �������� ���������� ������� $\delta_{2\pi}(x)$
������������ ����� ���������� ������� ��������� ����� $x=2\pi n$\,.

\end{document}
