Здесь представлена, в несколько расширенном виде, программа курса
МИНИМУМ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ (например, аспирантов-теоретиков)
на предстоящий 2017-18 учебный год. В квадратные скобки заключены
вопросы, не входящие в обязательный минимум.
                                                      А.Владимиров

------------------------------------------------------------------------

               МИНИМУМ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ

                Основные темы и вопросы к зачету


1. ЧИСЛА. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ПРЯМАЯ. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.

 Целые числа. Метод математической индукции. Счетные и несчетные множества.
 Основные понятия комбинаторики. Вероятность. Бином Ньютона.  
 Рациональные и вещественные (действительные) числа. Грани и сечения.
 Предел последовательности. Сходимость в себе. Полнота.
 Отображения множеств. Образ и прообраз. Обратимость.
 Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. 
 Предельные точки. Плотное подмножество. Компактность.
 Схема пополнения метрического пространства.

2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. РЯД ТЕЙЛОРА. ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

 Свойства непрерывных отображений. Непрерывный образ компакта.
 Дифференцирование. Свойства производной. Правило Лопиталя.
 Степенное разложение (в форме Пеано). Формальные ряды.
 Числовые ряды. Ряд Тейлора. Радиус сходимости степенного ряда.
 Частные производные. Замена переменных в частных производных.
 Интеграл Римана и его свойства. Связь интеграла и производной.
 Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан.
 Определение и свойства криволинейных и поверхностных интегралов.

3. КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ. РЯД ЛОРАНА. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ.

 Комплексные числа и алгебраические операции над ними. Формула Эйлера.
 Дифференцирование по комплексному аргументу. Аналитичность.
 Разложение аналитической функции в степенной ряд. Область сходимости.
 Полюса, разрезы и другие типы сингулярностей. Ряд Лорана.
 Контурные интегралы в комплексной плоскости. Вычеты.
 Разложение полиномов на простые множители. Основная теорема алгебры.
 Аналитическое продолжение. Примеры римановых поверхностей.

4. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ДУАЛЬНОСТЬ. ТЕНЗОРЫ.

 Линейное (векторное) пространство. Линейная зависимость. Базис. 
 Подпространство. Фактор-пространство. Бесконечномерные пространства.
 Линейный оператор и его матрица. Коммутатор. Ядро и образ оператора.
 Дуальное (сопряженное) пространство. Смысл верхних и нижних индексов.
 Тензоры. Преобразование тензорных величин при замене базиса.
 Скалярное произведение. Метрический тензор. Подъем/спуск индексов.
 Ортогонализация и ортонормированный базис. Прямая сумма. Проекторы.
 Собственные векторы и значения. Собственный базис. Корневые подпространства.
 
5. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО. РЯДЫ ФУРЬЕ. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

 Гильбертово пространство. Полнота пространства l2.
 Разложение вектора гильбертова пространства в ряд Фурье.
 Пространство L2. Тригонометрический ряд Фурье. Ортогональные полиномы.
 Сопряженный оператор. Спектр и орто-базис самосопряженного оператора.
 Диагонализация и спектральное разложение в конечномерном случае.
 Коммутирующие операторы. Функции от операторов. Резольвента.
 Нормированное пространство. Эквивалентность конечномерных норм.

6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ.

 Линейные функциональные пространства.  Пространство C(a,b).
 Множества меры 0. Понятие интеграла Лебега. Структура пространств L1 и L2.
 Линейные функционалы. Непрерывность, ограниченность и норма функционала.
 Полнота пространства непрерывных линейных функционалов. Слабая сходимость. 
 Линейные функционалы в гильбертовом пространстве. Бра- и кет-векторы.
 Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные функции.
 Дифференцирование обобщенных функций. Дельта-функция и ее производные.
 Носитель обобщенной функции. Сходимость в обобщенном смысле. 

7. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ФУНКЦИЯ ГРИНА.

 Интеграл Фурье. Свертка. Фурье-преобразование обобщенных функций.
 Компактные (вполне непрерывные) операторы и интегральные уравнения.
 Дискретный и непрерывный спектр операторов в гильбертовом пространстве. 
 Собственные векторы в квантовой физике. [Оснащенное гильбертово пространство].
 Дифференциальные операторы и уравнения. Сжимающие отображения.
 Линейные дифференциальные уравнения. Оператор эволюции. Функция Грина.
 
8. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.

 Гладкое многообразие. Касательный вектор. Градиент.
 Тензорные поля и их преобразование при заменах координат.
 Метрическое тензорное поле. Индуцированная метрика. Элемент объема.
 Тензорное и внешнее произведение линейных пространств.
 Дифференциальные формы. Внешний дифференциал. Понятие когомологий.
 Эпсилон-тензор. Ротор, дивергенция и уравнения Максвелла.
 Интегрирование форм на многообразии. Формула Стокса.

9. ПОТОКИ И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. КРИВИЗНА.

 Отображения многообразий и тензорных полей. Pullback.
 Поток векторного поля. Коммутатор векторных полей. Производная Ли.
 Гамильтоново векторное поле. Скобки Пуассона. Симплектическая форма.
 Интегралы движения. Коммутирующие гамильтоновы потоки.
 Полная интегрируемость. [Переменные действие-угол]. [Схема Лакса].
 Понятие связности. Символы Кристоффеля. Ковариантная производная.
 Риманова (метрическая) связность. Тензор кривизны. [Тетрады].

10. АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ ЛИ. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. КОНФОРМНАЯ СИММЕТРИЯ. СУПЕРСИММЕТРИЯ.

 Ассоциативная алгебра. Алгебра Ли. Универсальная обертывающая алгебра.
 Группа. Группа Ли как многообразие. Генераторы группы.
 Неприводимые представления групп и алгебр Ли. Лемма Шура.
 Простые комплексные алгебры Ли и их представления. Вещественные формы.
 Тензорное произведение представлений. Ряд Клебша-Гордана. Схемы Юнга.
 Пространство Минковского. Алгебры Лоренца и Пуанкаре. Спиноры.
 Конформные преобразования в четырехмерном и двумерном пространстве.
 Градуированные алгебры. Грассманновы переменные. Суперсимметрия.
 [Аффинные алгебры Ли]. [Алгебра Вирасоро]. [Алгебры Хопфа и квантовые группы].

11. ЛАГРАНЖИАН. ТЕОРЕМА НЁТЕР. КВАНТОВОЕ ПОЛЕ. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

 Вариационная производная. Источники и производящий функционал.
 Лагранжиан и уравнения движения. Преобразование Лежандра. Гамильтониан.
 Преобразования симметрии. Теорема Нётер. Калибровочная симметрия.
 Случайные величины и распределения. Статсумма. Матрица плотности.
 Операторы рождения и уничтожения. Бозоны и фермионы. Пространство Фока.
 Свободное квантовое поле. T-экспонента. Теорема Вика. Диаграммы Фейнмана.
 Пропагатор квантового поля. Континуальный интеграл. [Госты и метод BRST].